gdz.top
Номер 24.23, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 24. Формулы сложения - номер 24.23, страница 179.
№24.22
№24.23 (с. 179)
Условие. №24.23 (с. 179)
24.23. Найдите наибольшее значение выражения:
1) $ \sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha $;
2) $ 4\sin \alpha + 5\cos \alpha $;
3) $ \sin \alpha + \cos \alpha $;
4) $ 2\sin \alpha - \cos \alpha $.
Решение. №24.23 (с. 179)
Для нахождения наибольшего значения выражения вида $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Этот метод основан на преобразовании выражения к виду $R \sin(\alpha + \phi)$ или $R \cos(\alpha - \phi)$, где амплитуда $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Преобразование выглядит следующим образом:
$a \sin \alpha + b \cos \alpha = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin \alpha + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos \alpha \right)$.
Поскольку существует угол $\phi$, такой что $\cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ и $\sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, выражение можно записать как:
$\sqrt{a^2 + b^2} (\cos \phi \sin \alpha + \sin \phi \cos \alpha) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\alpha + \phi)$.
Наибольшее значение функции $\sin(\alpha + \phi)$ равно 1. Следовательно, наибольшее значение всего выражения $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ равно $\sqrt{a^2 + b^2}$.
1) $\sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha$
Для данного выражения коэффициенты $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$.
Наибольшее значение равно $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.
2) $4\sin \alpha + 5\cos \alpha$
Для данного выражения коэффициенты $a=4$ и $b=5$.
Наибольшее значение равно $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
Ответ: $\sqrt{41}$.
3) $\sin \alpha + \cos \alpha$
Для данного выражения коэффициенты $a=1$ и $b=1$.
Наибольшее значение равно $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.
4) $2\sin \alpha - \cos \alpha$
Для данного выражения коэффициенты $a=2$ и $b=-1$.
Наибольшее значение равно $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 24.23 расположенного на странице 179 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.23 (с. 179), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.