Номер 24.28, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.28. Дано: $\sin(40^\circ + \alpha) = b$, $0^\circ < \alpha < 45^\circ$. Найдите $\cos(70^\circ + \alpha)$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся тригонометрическими формулами и данными из условия. Нам дано, что $\sin(40^\circ + \alpha) = b$ при условии $0^\circ < \alpha < 45^\circ$. Наша цель — найти значение $\cos(70^\circ + \alpha)$.

Первым шагом представим аргумент косинуса $70^\circ + \alpha$ через известный нам аргумент синуса, $40^\circ + \alpha$. Заметим, что $70^\circ = 30^\circ + 40^\circ$.

$70^\circ + \alpha = 30^\circ + 40^\circ + \alpha = 30^\circ + (40^\circ + \alpha)$.

Теперь мы можем применить формулу косинуса суммы двух углов: $\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$.

Пусть $x = 30^\circ$ и $y = 40^\circ + \alpha$. Тогда:

$\cos(70^\circ + \alpha) = \cos(30^\circ + (40^\circ + \alpha)) = \cos(30^\circ)\cos(40^\circ + \alpha) - \sin(30^\circ)\sin(40^\circ + \alpha)$.

Мы знаем табличные значения для синуса и косинуса $30^\circ$:

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Также из условия нам известно, что $\sin(40^\circ + \alpha) = b$. Подставим эти значения в нашу формулу:

$\cos(70^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(40^\circ + \alpha) - \frac{1}{2} \cdot b$.

Теперь нам нужно найти значение $\cos(40^\circ + \alpha)$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$.

$\cos^2(40^\circ + \alpha) = 1 - \sin^2(40^\circ + \alpha) = 1 - b^2$.

Отсюда $\cos(40^\circ + \alpha) = \pm\sqrt{1-b^2}$.

Чтобы определить правильный знак, обратимся к условию $0^\circ < \alpha < 45^\circ$. Это позволяет нам определить, в какой четверти находится угол $40^\circ + \alpha$:

$40^\circ + 0^\circ < 40^\circ + \alpha < 40^\circ + 45^\circ$
$40^\circ < 40^\circ + \alpha < 85^\circ$

Углы в диапазоне от $40^\circ$ до $85^\circ$ находятся в первой координатной четверти, где значения косинуса положительны. Следовательно, мы выбираем знак "+":

$\cos(40^\circ + \alpha) = \sqrt{1-b^2}$.

Наконец, подставим найденное значение $\cos(40^\circ + \alpha)$ в выражение для $\cos(70^\circ + \alpha)$:

$\cos(70^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{1-b^2} - \frac{b}{2}$.

Объединив дроби, получим окончательный ответ:

$\cos(70^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{3}\sqrt{1-b^2} - b}{2} = \frac{\sqrt{3(1-b^2)} - b}{2} = \frac{\sqrt{3-3b^2} - b}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3-3b^2} - b}{2}$.