Номер 24.26, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.26. Дано: $\sin \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=-\frac{\sqrt{2}}{10}$, $\pi < \alpha < \frac{3 \pi}{2}$. Найдите $\sin \alpha$.

Чтобы найти $\sin\alpha$, воспользуемся формулой синуса разности двух углов:
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$
Применим эту формулу к данному выражению, где $A = \frac{\pi}{4}$ и $B = \alpha$:
$\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha$
Известно, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения, а также данное значение $\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{10}$:
$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{10}$
Вынесем общий множитель $\frac{\sqrt{2}}{2}$ за скобки:
$\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{10}$
Разделим обе части уравнения на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\cos\alpha - \sin\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{10} \div \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{10} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1. $\cos\alpha - \sin\alpha = -\frac{1}{5}$
2. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ (основное тригонометрическое тождество)
Из первого уравнения выразим $\cos\alpha$:
$\cos\alpha = \sin\alpha - \frac{1}{5}$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\sin^2\alpha + (\sin\alpha - \frac{1}{5})^2 = 1$
Раскроем скобки и упростим:
$\sin^2\alpha + \sin^2\alpha - \frac{2}{5}\sin\alpha + \frac{1}{25} = 1$
$2\sin^2\alpha - \frac{2}{5}\sin\alpha + \frac{1}{25} - 1 = 0$
$2\sin^2\alpha - \frac{2}{5}\sin\alpha - \frac{24}{25} = 0$
Умножим все уравнение на 25, чтобы избавиться от дробей:
$50\sin^2\alpha - 10\sin\alpha - 24 = 0$
Разделим на 2 для упрощения:
$25\sin^2\alpha - 5\sin\alpha - 12 = 0$
Сделаем замену $x = \sin\alpha$ и решим квадратное уравнение $25x^2 - 5x - 12 = 0$:
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-12) = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 35}{2 \cdot 25} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 35}{2 \cdot 25} = \frac{-30}{50} = -\frac{3}{5}$
Итак, $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ или $\sin\alpha = -\frac{3}{5}$.
Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти значения синуса отрицательны.
Следовательно, мы должны выбрать отрицательный корень: $\sin\alpha = -\frac{3}{5}$.
Ответ: $\sin\alpha = -\frac{3}{5}$