Номер 24.32, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.32. Постройте график функции:

1) $y = \frac{\text{tg}2x - \text{tg}x}{1 + \text{tg}2x\text{tg}x}$;

2) $y = \frac{\sqrt{3} + \text{tg}x}{1 - \sqrt{3}\text{tg}x}$.

1) Дана функция $y = \frac{\tg(2x) - \tg(x)}{1 + \tg(2x)\tg(x)}$.

Выражение в правой части представляет собой формулу тангенса разности двух углов: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg(\alpha) - \tg(\beta)}{1 + \tg(\alpha)\tg(\beta)}$. В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = x$. Следовательно, функцию можно упростить:

$y = \tg(2x - x) = \tg(x)$.

Данное преобразование является тождественным только на области определения (ОДЗ) исходной функции. Найдем эту область.

1. Тангенсы $\tg(x)$ и $\tg(2x)$ должны быть определены. Это означает, что их аргументы не могут быть равны $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$1 + \tg(2x)\tg(x) \neq 0$.

Это условие нарушается, если $\cos(2x-x) = \cos(x) = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Но эти точки уже исключены из ОДЗ первым условием.

Таким образом, ОДЗ исходной функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$ для всех $k, m \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, график искомой функции — это график функции $y = \tg(x)$ с "выколотыми" точками, абсциссы которых $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$.

Найдем ординаты этих точек, подставив их абсциссы в упрощенную функцию $y = \tg(x)$:

Если $m$ — четное, $m = 2j$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi j$, и $y = \tg(\frac{\pi}{4} + \pi j) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Если $m$ — нечетное, $m = 2j+1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(2j+1)}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi j$, и $y = \tg(\frac{3\pi}{4} + \pi j) = \tg(\frac{3\pi}{4}) = -1$.

Значит, нужно выколоть точки $(\frac{\pi}{4} + \pi j, 1)$ и $(\frac{3\pi}{4} + \pi j, -1)$ для всех $j \in \mathbb{Z}$.

Построение графика: 1. Строим график функции $y = \tg(x)$ (тангенсоиду) с вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. 2. На полученном графике "выкалываем" (отмечаем пустыми кружками) точки $(\frac{\pi}{4} + \pi j, 1)$ и $(\frac{3\pi}{4} + \pi j, -1)$ для всех целых $j$.

Ответ: Графиком функции является график $y = \tg(x)$ с выколотыми точками $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \tg(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}))$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $y = \frac{\sqrt{3} + \tg(x)}{1 - \sqrt{3}\tg(x)}$.

Поскольку $\sqrt{3} = \tg(\frac{\pi}{3})$, можно переписать функцию в виде:

$y = \frac{\tg(\frac{\pi}{3}) + \tg(x)}{1 - \tg(\frac{\pi}{3})\tg(x)}$.

Это выражение является формулой тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg(\alpha) + \tg(\beta)}{1 - \tg(\alpha)\tg(\beta)}$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$. Таким образом, функцию можно упростить:

$y = \tg(x + \frac{\pi}{3})$.

Найдем область определения (ОДЗ) исходной функции, чтобы учесть возможные ограничения.

1. Тангенс $\tg(x)$ должен быть определен:

$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$1 - \sqrt{3}\tg(x) \neq 0 \implies \tg(x) \neq \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$.

Область определения упрощенной функции $y = \tg(x + \frac{\pi}{3})$ задается условием $x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, что дает $x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n$. Это совпадает со вторым ограничением ОДЗ исходной функции.

Следовательно, график искомой функции — это график $y = \tg(x + \frac{\pi}{3})$ с дополнительными "выколотыми" точками, соответствующими первому ограничению ОДЗ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Найдем ординаты этих выколотых точек, подставив их абсциссы в упрощенную функцию:

$y = \tg((\frac{\pi}{2} + \pi k) + \frac{\pi}{3}) = \tg(\frac{5\pi}{6} + \pi k) = \tg(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значит, нужно выколоть точки $(\frac{\pi}{2} + \pi k, -\frac{\sqrt{3}}{3})$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Построение графика: 1. Строим график функции $y = \tg(x + \frac{\pi}{3})$. Это тангенсоида $y = \tg(x)$, сдвинутая по оси абсцисс влево на $\frac{\pi}{3}$. Ее вертикальные асимптоты — прямые $x = \frac{\pi}{6} + \pi m$. 2. На полученном графике "выкалываем" точки с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi k, -\frac{\sqrt{3}}{3})$ для всех целых $k$.

Ответ: Графиком функции является график $y = \tg(x + \frac{\pi}{3})$ с выколотыми точками $(\frac{\pi}{2} + \pi k, -\frac{\sqrt{3}}{3})$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.