Номер 24.34, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.34. Докажите, что если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы непрямоугольного треугольника, то $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \gamma$.

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$ радиан (180°).

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$

Из этого равенства можно выразить сумму двух углов через третий:

$\alpha + \beta = \pi - \gamma$

Применим функцию тангенса к обеим частям этого уравнения. Так как по условию треугольник непрямоугольный, ни один из его углов не равен $\pi/2$, и, следовательно, тангенсы всех углов существуют и конечны.

$tg(\alpha + \beta) = tg(\pi - \gamma)$

Воспользуемся формулой тангенса суммы для левой части и формулой приведения для правой части:

Левая часть: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha tg\beta}$

Правая часть: $tg(\pi - \gamma) = -tg\gamma$

Приравнивая правые части этих выражений, получаем:

$\frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha tg\beta} = -tg\gamma$

Знаменатель $(1 - tg\alpha tg\beta)$ не равен нулю. Если бы он был равен нулю, то $tg\alpha tg\beta = 1$, что означает $tg\alpha = \frac{1}{tg\beta} = ctg\beta = tg(\frac{\pi}{2} - \beta)$. Отсюда следовало бы, что $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$. В этом случае третий угол $\gamma$ был бы равен $\pi - (\alpha + \beta) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$, что означало бы, что треугольник прямоугольный. Это противоречит условию задачи.

Теперь умножим обе части уравнения на $(1 - tg\alpha tg\beta)$:

$tg\alpha + tg\beta = -tg\gamma \cdot (1 - tg\alpha tg\beta)$

Раскроем скобки в правой части:

$tg\alpha + tg\beta = -tg\gamma + tg\alpha tg\beta tg\gamma$

Перенесём $-tg\gamma$ из правой части в левую, поменяв знак:

$tg\alpha + tg\beta + tg\gamma = tg\alpha tg\beta tg\gamma$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $tg\alpha + tg\beta + tg\gamma = tg\alpha tg\beta tg\gamma$ для углов непрямоугольного треугольника доказано.