Номер 24.35, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.35. Докажите, что если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ – углы треугольника, то$ \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2} \mathrm{tg} \frac{\beta}{2} + \mathrm{tg} \frac{\beta}{2} \mathrm{tg} \frac{\gamma}{2} + \mathrm{tg} \frac{\gamma}{2} \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2} = 1. $

Поскольку $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ являются углами треугольника, их сумма равна $\pi$ радиан (или $180^\circ$).

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$

Разделим обе части этого равенства на 2:

$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2}$

Выразим сумму двух половинных углов через третий:

$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$

Применим функцию тангенса к обеим частям равенства. Поскольку углы $\alpha, \beta, \gamma$ лежат в интервале $(0, \pi)$, их половины $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2}$ лежат в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. В этом интервале тангенс определен.

$\text{tg}\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right)$

Используем формулу тангенса суммы для левой части: $\text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A \text{tg}B}$.
Используем формулу приведения для правой части: $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - x) = \text{ctg}x$.

В результате преобразования получим:

$\frac{\text{tg}\frac{\alpha}{2} + \text{tg}\frac{\beta}{2}}{1 - \text{tg}\frac{\alpha}{2}\text{tg}\frac{\beta}{2}} = \text{ctg}\frac{\gamma}{2}$

Так как $\text{ctg}x = \frac{1}{\text{tg}x}$, заменим котангенс в правой части:

$\frac{\text{tg}\frac{\alpha}{2} + \text{tg}\frac{\beta}{2}}{1 - \text{tg}\frac{\alpha}{2}\text{tg}\frac{\beta}{2}} = \frac{1}{\text{tg}\frac{\gamma}{2}}$

Применим правило пропорции (перекрестное умножение):

$\text{tg}\frac{\gamma}{2} \left(\text{tg}\frac{\alpha}{2} + \text{tg}\frac{\beta}{2}\right) = 1 \cdot \left(1 - \text{tg}\frac{\alpha}{2}\text{tg}\frac{\beta}{2}\right)$

Раскроем скобки в левой части:

$\text{tg}\frac{\gamma}{2}\text{tg}\frac{\alpha}{2} + \text{tg}\frac{\gamma}{2}\text{tg}\frac{\beta}{2} = 1 - \text{tg}\frac{\alpha}{2}\text{tg}\frac{\beta}{2}$

Перенесем слагаемое $-\text{tg}\frac{\alpha}{2}\text{tg}\frac{\beta}{2}$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный, и упорядочим слагаемые:

$\text{tg}\frac{\alpha}{2}\text{tg}\frac{\beta}{2} + \text{tg}\frac{\beta}{2}\text{tg}\frac{\gamma}{2} + \text{tg}\frac{\gamma}{2}\text{tg}\frac{\alpha}{2} = 1$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.