Номер 24.15, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.15. Упростите выражение:

1) $\cos \frac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{4} + \sin \frac{\alpha}{2};$

2) $\frac{1}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} 2\alpha}.$

1) Исходное выражение: $ \cos\frac{\alpha}{2}\text{ctg}\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2} $.

Представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $ \text{ctg}\frac{\alpha}{4} = \frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} $.

Подставим это в выражение:

$ \cos\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} + \sin\frac{\alpha}{2} $

Приведем к общему знаменателю $ \sin\frac{\alpha}{4} $:

$ \frac{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} $

Числитель дроби имеет вид $ \cos A \cos B + \sin A \sin B $, что является формулой косинуса разности $ \cos(A - B) $. В данном случае $ A = \frac{\alpha}{2} $ и $ B = \frac{\alpha}{4} $.

Применим формулу к числителю:

$ \cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{4} = \cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{4}) = \cos(\frac{2\alpha - \alpha}{4}) = \cos\frac{\alpha}{4} $

Подставим упрощенный числитель обратно в выражение:

$ \frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} $

Это выражение по определению равно котангенсу угла $ \frac{\alpha}{4} $.

$ \frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} = \text{ctg}\frac{\alpha}{4} $

Ответ: $ \text{ctg}\frac{\alpha}{4} $.

2) Исходное выражение: $ \frac{1}{1 + \text{tg}\alpha\text{tg}2\alpha} $.

Представим тангенсы как отношение синуса к косинусу: $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ и $ \text{tg}2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} $.

Подставим эти выражения в знаменатель исходной дроби:

$ 1 + \text{tg}\alpha\text{tg}2\alpha = 1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = 1 + \frac{\sin\alpha\sin2\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha} $

Приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю $ \cos\alpha\cos2\alpha $:

$ \frac{\cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha} $

Числитель полученной дроби, $ \cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha $, соответствует формуле косинуса разности $ \cos(A - B) $. Пусть $ A = 2\alpha $ и $ B = \alpha $. Тогда:

$ \cos2\alpha\cos\alpha + \sin2\alpha\sin\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) = \cos\alpha $

Таким образом, знаменатель исходного выражения упрощается до:

$ \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha} $

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$ \frac{1}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha}} = 1 \cdot \frac{\cos\alpha\cos2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha\cos2\alpha}{\cos\alpha} $

При условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $ (что является условием существования $ \text{tg}\alpha $), мы можем сократить дробь на $ \cos\alpha $:

$ \cos2\alpha $

Ответ: $ \cos2\alpha $.