Страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.2. Вычислите:

1) $\tan 210^\circ;$

2) $\cot 315^\circ;$

3) $\cos (-150^\circ);$

4) $\sin \left(-\frac{5\pi}{3}\right).$

1) tg 210°;

Для вычисления тангенса 210° воспользуемся формулами приведения. Угол 210° находится в третьей координатной четверти (180° < 210° < 270°), где тангенс имеет положительный знак.

Представим угол 210° в виде суммы 180° и 30°:

$tg(210°) = tg(180° + 30°)$

Согласно формуле приведения $tg(180° + \alpha) = tg(\alpha)$, получаем:

$tg(180° + 30°) = tg(30°)$

Значение тангенса 30° является табличным:

$tg(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

2) ctg 315°;

Для вычисления котангенса 315° используем формулы приведения. Угол 315° находится в четвертой координатной четверти (270° < 315° < 360°), где котангенс имеет отрицательный знак.

Представим угол 315° в виде разности 360° и 45°:

$ctg(315°) = ctg(360° - 45°)$

Согласно формуле приведения $ctg(360° - \alpha) = -ctg(\alpha)$, получаем:

$ctg(360° - 45°) = -ctg(45°)$

Значение котангенса 45° является табличным и равно 1:

$-ctg(45°) = -1$

Ответ: -1

3) cos(-150°);

Сначала воспользуемся свойством четности косинуса. Косинус — четная функция, поэтому $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

$cos(-150°) = cos(150°)$

Теперь применим формулы приведения для угла 150°. Угол 150° находится во второй координатной четверти (90° < 150° < 180°), где косинус имеет отрицательный знак.

Представим 150° в виде разности 180° и 30°:

$cos(150°) = cos(180° - 30°)$

Согласно формуле приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$, получаем:

$cos(180° - 30°) = -cos(30°)$

Значение косинуса 30° является табличным:

$cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом:

$-cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) sin(-5π/3);

Сначала воспользуемся свойством нечетности синуса. Синус — нечетная функция, поэтому $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.

$sin(-\frac{5\pi}{3}) = -sin(\frac{5\pi}{3})$

Далее можно использовать формулы приведения. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Представим $\frac{5\pi}{3}$ в виде разности $2\pi - \frac{\pi}{3}$:

$-sin(\frac{5\pi}{3}) = -sin(2\pi - \frac{\pi}{3})$

Согласно формуле приведения $sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$, получаем:

$-sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-sin(\frac{\pi}{3})) = sin(\frac{\pi}{3})$

Значение синуса $\frac{\pi}{3}$ (или 60°) является табличным:

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Альтернативный способ:

Можно использовать периодичность синуса ($sin(\alpha + 2\pi k) = sin(\alpha)$, где k - целое число). Добавим к углу полный оборот $2\pi$:

$sin(-\frac{5\pi}{3}) = sin(-\frac{5\pi}{3} + 2\pi) = sin(-\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

25.3. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha)}{\text{tg}(\pi - \alpha)\cos(\pi - \alpha)}$;

2) $\sin(\pi - \beta)\cos\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right)\cos(\pi - \beta)$;

3) $\sin^2(\pi - x) + \text{tg}^2(\pi - x)\text{tg}^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\cos(x - 2\pi)$;

4) $\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(\pi - x)\right)^2 + \left(\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \cos(2\pi - x)\right)^2$;

5) $\frac{\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\left(\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) + \sin(\pi + \alpha)\right)}{\text{ctg}(\pi + \alpha)(\cos(2\pi + \alpha) - \sin(2\pi - \alpha))}$.

1) Для упрощения данного выражения применим формулы приведения для каждой тригонометрической функции.

• $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен).
• $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$ (угол $2\pi - \alpha$ находится в IV четверти, где косинус положителен).
• $\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен).
• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен).

Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha)}{\text{tg}(\pi - \alpha)\cos(\pi - \alpha)} = \frac{(-\sin(\alpha))(\cos(\alpha))}{(-\text{tg}(\alpha))(-\cos(\alpha))} = \frac{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)\cos(\alpha)}$
Сократим на $\cos(\alpha)$:
$\frac{-\sin(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)}$
Используем тождество $\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$:
$\frac{-\sin(\alpha)}{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = -\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = -\cos(\alpha)$
Ответ: $-\cos(\alpha)$

2) Упростим каждый член выражения, используя формулы приведения.

• $\sin(\pi - \beta) = \sin(\beta)$ (II четверть, синус положителен).
• $\cos(\beta - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - \beta)) = \cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = \sin(\beta)$ (используем четность косинуса и формулу приведения).
• $\sin(\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos(\beta)$ (II четверть, синус положителен, функция меняется на кофункцию).
• $\cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta)$ (II четверть, косинус отрицателен).

Подставим упрощенные выражения в исходное:
$\sin(\beta) \cdot \sin(\beta) - \cos(\beta) \cdot (-\cos(\beta)) = \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$, получаем:
$\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$
Ответ: $1$

3) Упростим каждое слагаемое в выражении по отдельности.

• $\sin^2(\pi - x) = (\sin(\pi - x))^2 = (\sin(x))^2 = \sin^2(x)$
• $\text{tg}^2(\pi - x) \text{tg}^2(\frac{3\pi}{2} + x) = (-\text{tg}(x))^2 \cdot (-\text{ctg}(x))^2 = \text{tg}^2(x) \text{ctg}^2(x) = (\text{tg}(x)\text{ctg}(x))^2 = 1^2 = 1$
• $\sin(\frac{\pi}{2} + x)\cos(x - 2\pi) = \cos(x)\cos(x) = \cos^2(x)$ (используя формулу приведения и периодичность косинуса).

Теперь сложим упрощенные части:
$\sin^2(x) + 1 + \cos^2(x)$
Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2(x) + \cos^2(x)) + 1$
Применяя основное тригонометрическое тождество, получаем:
$1 + 1 = 2$
Ответ: $2$

4) Сначала упростим выражения в скобках, используя формулы приведения.
Первая скобка:
$\sin(\frac{\pi}{2} - x) + \sin(\pi - x) = \cos(x) + \sin(x)$
Вторая скобка:
$\cos(\frac{3\pi}{2} - x) + \cos(2\pi - x) = -\sin(x) + \cos(x) = \cos(x) - \sin(x)$
Теперь выражение имеет вид:
$(\cos(x) + \sin(x))^2 + (\cos(x) - \sin(x))^2$
Раскроем квадраты по формулам сокращенного умножения:
$(\cos^2(x) + 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x)) + (\cos^2(x) - 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x))$
Приведем подобные слагаемые:
$\cos^2(x) + \sin^2(x) + \cos^2(x) + \sin^2(x) + 2\cos(x)\sin(x) - 2\cos(x)\sin(x)$
Используя тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, получаем:
$1 + 1 = 2$
Ответ: $2$

5) Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения.
Упрощение числителя:
$\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\alpha)$
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$
$\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$
Числитель становится: $\text{tg}(\alpha)(-\cos(\alpha) + (-\sin(\alpha))) = -\text{tg}(\alpha)(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))$
Упрощение знаменателя:
$\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}(\alpha)$
$\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$
$\sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$
Знаменатель становится: $\text{ctg}(\alpha)(\cos(\alpha) - (-\sin(\alpha))) = \text{ctg}(\alpha)(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))$
Теперь подставим упрощенные части обратно в дробь:
$\frac{-\text{tg}(\alpha)(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))}{\text{ctg}(\alpha)(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))}$
Сократим на общий множитель $(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))$:
$\frac{-\text{tg}(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)}$
Используя тождество $\text{ctg}(\alpha) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha)}$, получаем:
$\frac{-\text{tg}(\alpha)}{\frac{1}{\text{tg}(\alpha)}} = -\text{tg}(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha) = -\text{tg}^2(\alpha)$
Ответ: $-\text{tg}^2(\alpha)$

25.4. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin(\pi - \alpha)\sin(\alpha + 2\pi)}{\text{tg}(\pi + \alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)} = -\cos\alpha;$

2) $\frac{\text{tg}(180^\circ - \alpha)\cos(180^\circ - \alpha)\text{tg}(90^\circ - \alpha)}{\sin(90^\circ + \alpha)\text{ctg}(90^\circ + \alpha)\text{tg}(90^\circ + \alpha)} = 1;$

3) $\sin(2\pi - \varphi)\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \varphi\right) - \cos(\varphi - \pi) - \sin(\varphi - \pi) = \sin\varphi;$

4) $\frac{\sin(\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)\text{tg}(\pi - \alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)} = -1.$

1) Докажем тождество: $\frac{\sin(\pi - \alpha)\sin(\alpha + 2\pi)}{\text{tg}(\pi + \alpha)\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} = -\cos\alpha$.
Преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.
Преобразуем выражения в числителе:
$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (так как угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен).
$\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha$ (так как $2\pi$ - период функции синус).
Преобразуем выражения в знаменателе:
$\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}\alpha$ (так как угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где тангенс положителен).
$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$ (так как угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен, и при прибавлении $\frac{\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию).
Подставим полученные выражения в левую часть тождества:
$\frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\text{tg}\alpha \cdot (-\sin\alpha)} = \frac{\sin^2\alpha}{-\text{tg}\alpha \cdot \sin\alpha}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, получаем:
$\frac{\sin^2\alpha}{-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{-\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}} = \sin^2\alpha \cdot \left(-\frac{\cos\alpha}{\sin^2\alpha}\right) = -\cos\alpha$.
Мы получили, что левая часть тождества равна правой: $-\cos\alpha = -\cos\alpha$.
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество: $\frac{\text{tg}(180^\circ - \alpha)\cos(180^\circ - \alpha)\text{tg}(90^\circ - \alpha)}{\sin(90^\circ + \alpha)\text{ctg}(90^\circ + \alpha)\text{tg}(90^\circ + \alpha)} = 1$.
Преобразуем левую часть, используя формулы приведения.
Преобразуем числитель дроби:
$\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (II четверть, тангенс отрицателен).
$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ (II четверть, косинус отрицателен).
$\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}\alpha$ (I четверть, тангенс положителен, функция меняется на кофункцию).
Произведение в числителе: $(-\text{tg}\alpha)(-\cos\alpha)(\text{ctg}\alpha) = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha$.
Преобразуем знаменатель дроби:
$\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha$ (II четверть, синус положителен, функция меняется на кофункцию).
$\text{ctg}(90^\circ + \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (II четверть, котангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$\text{tg}(90^\circ + \alpha) = -\text{ctg}\alpha$ (II четверть, тангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
Произведение в знаменателе: $(\cos\alpha)(-\text{tg}\alpha)(-\text{ctg}\alpha) = \cos\alpha \cdot (\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha) = \cos\alpha \cdot 1 = \cos\alpha$.
Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} = 1$.
Левая часть равна правой: $1 = 1$.
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество: $\sin(2\pi - \varphi)\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi) - \cos(\varphi - \pi) - \sin(\varphi - \pi) = \sin\varphi$.
Преобразуем левую часть равенства, применяя формулы приведения и свойства четности/нечетности функций.
$\sin(2\pi - \varphi) = -\sin\varphi$ (IV четверть, синус отрицателен).
$\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi) = \text{ctg}\varphi$ (III четверть, тангенс положителен, функция меняется на кофункцию).
$\cos(\varphi - \pi) = \cos(-(\pi - \varphi)) = \cos(\pi - \varphi) = -\cos\varphi$ (косинус — четная функция; угол $\pi - \varphi$ во II четверти, где косинус отрицателен).
$\sin(\varphi - \pi) = -\sin(\pi - \varphi) = -\sin\varphi$ (синус — нечетная функция; угол $\pi - \varphi$ во II четверти, где синус положителен).
Подставим преобразованные выражения в левую часть:
$(-\sin\varphi)(\text{ctg}\varphi) - (-\cos\varphi) - (-\sin\varphi) = -\sin\varphi \cdot \text{ctg}\varphi + \cos\varphi + \sin\varphi$.
Заменим $\text{ctg}\varphi$ на $\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$:
$-\sin\varphi \cdot \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi} + \cos\varphi + \sin\varphi = -\cos\varphi + \cos\varphi + \sin\varphi = \sin\varphi$.
Левая часть равна правой: $\sin\varphi = \sin\varphi$.
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество: $\frac{\sin(\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)\text{tg}(\pi - \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} = -1$.
Преобразуем левую часть, используя формулы приведения.
Преобразуем числитель:
$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (II четверть, синус положителен).
$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$ (III четверть, косинус отрицателен).
$\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (II четверть, тангенс отрицателен).
Произведение в числителе: $(\sin\alpha)(-\cos\alpha)(-\text{tg}\alpha) = \sin\alpha \cdot \cos\alpha \cdot \text{tg}\alpha = \sin\alpha \cdot \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin^2\alpha$.
Преобразуем знаменатель:
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha$ (III четверть, синус отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (IV четверть, котангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$ (II четверть, косинус отрицателен, функция меняется на кофункцию).
Произведение в знаменателе: $(-\cos\alpha)(-\text{tg}\alpha)(-\sin\alpha) = -(\cos\alpha \cdot \text{tg}\alpha \cdot \sin\alpha) = -(\cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \sin\alpha) = -\sin^2\alpha$.
Разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$\frac{\sin^2\alpha}{-\sin^2\alpha} = -1$.
Левая часть равна правой: $-1 = -1$.
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

25.5. Вычислите:

1) $\cot 5^\circ \cot 15^\circ \cot 25^\circ \dots \cot 75^\circ \cot 85^\circ$

2) $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 60^\circ + \dots + \tan 160^\circ + \tan 180^\circ$

3) $\sin 0^\circ + \sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \dots + \sin 359^\circ + \sin 360^\circ$

1) $ctg5^\circ ctg15^\circ ctg25^\circ ...ctg75^\circ ctg85^\circ$

Данное выражение представляет собой произведение котангенсов. Углы в аргументах котангенсов образуют арифметическую прогрессию с первым членом $5^\circ$ и разностью $10^\circ$. Запишем все члены последовательности: $5^\circ, 15^\circ, 25^\circ, 35^\circ, 45^\circ, 55^\circ, 65^\circ, 75^\circ, 85^\circ$. Всего 9 членов.

Для решения воспользуемся формулой приведения $ctg(90^\circ - \alpha) = tg(\alpha)$ и основным тригонометрическим тождеством $ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha) = 1$.

Сгруппируем множители в произведении симметрично относительно центрального члена $ctg45^\circ$:

$(ctg5^\circ \cdot ctg85^\circ) \cdot (ctg15^\circ \cdot ctg75^\circ) \cdot (ctg25^\circ \cdot ctg65^\circ) \cdot (ctg35^\circ \cdot ctg55^\circ) \cdot ctg45^\circ$

Теперь преобразуем вторые множители в каждой паре с помощью формулы приведения:

$ctg85^\circ = ctg(90^\circ - 5^\circ) = tg5^\circ$

$ctg75^\circ = ctg(90^\circ - 15^\circ) = tg15^\circ$

$ctg65^\circ = ctg(90^\circ - 25^\circ) = tg25^\circ$

$ctg55^\circ = ctg(90^\circ - 35^\circ) = tg35^\circ$

Подставим полученные выражения обратно в произведение:

$(ctg5^\circ \cdot tg5^\circ) \cdot (ctg15^\circ \cdot tg15^\circ) \cdot (ctg25^\circ \cdot tg25^\circ) \cdot (ctg35^\circ \cdot tg35^\circ) \cdot ctg45^\circ$

Произведение каждой пары $(ctg\alpha \cdot tg\alpha)$ равно 1. Значение $ctg45^\circ$ также равно 1.

$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1

2) $tg20^\circ + tg40^\circ + tg60^\circ + ... + tg160^\circ + tg180^\circ$

Данное выражение представляет собой сумму тангенсов. Углы образуют арифметическую прогрессию с первым членом $20^\circ$ и разностью $20^\circ$. Всего в сумме 9 членов: $20^\circ, 40^\circ, 60^\circ, 80^\circ, 100^\circ, 120^\circ, 140^\circ, 160^\circ, 180^\circ$.

Для решения воспользуемся формулой приведения $tg(180^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$.

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(tg20^\circ + tg160^\circ) + (tg40^\circ + tg140^\circ) + (tg60^\circ + tg120^\circ) + (tg80^\circ + tg100^\circ) + tg180^\circ$

Преобразуем вторые слагаемые в каждой паре:

$tg160^\circ = tg(180^\circ - 20^\circ) = -tg20^\circ$

$tg140^\circ = tg(180^\circ - 40^\circ) = -tg40^\circ$

$tg120^\circ = tg(180^\circ - 60^\circ) = -tg60^\circ$

$tg100^\circ = tg(180^\circ - 80^\circ) = -tg80^\circ$

Подставим полученные значения обратно в сумму:

$(tg20^\circ - tg20^\circ) + (tg40^\circ - tg40^\circ) + (tg60^\circ - tg60^\circ) + (tg80^\circ - tg80^\circ) + tg180^\circ$

Сумма в каждой скобке равна нулю. Значение $tg180^\circ$ также равно 0.

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: 0

3) $sin0^\circ + sin1^\circ + sin2^\circ + ... + sin359^\circ + sin360^\circ$

Это сумма значений синуса для углов от $0^\circ$ до $360^\circ$ с шагом в $1^\circ$.

Сразу определим значения для некоторых углов:

$sin0^\circ = 0$

$sin180^\circ = 0$

$sin360^\circ = 0$

Для остальных слагаемых применим формулу приведения $sin(360^\circ - \alpha) = -sin(\alpha)$. Сгруппируем слагаемые попарно так, чтобы сумма углов в каждой паре была равна $360^\circ$.

$S = sin0^\circ + (sin1^\circ + sin359^\circ) + (sin2^\circ + sin358^\circ) + ... + (sin179^\circ + sin181^\circ) + sin180^\circ + sin360^\circ$

Рассмотрим сумму в каждой паре:

$sin359^\circ = sin(360^\circ - 1^\circ) = -sin1^\circ \implies sin1^\circ + sin359^\circ = 0$

$sin358^\circ = sin(360^\circ - 2^\circ) = -sin2^\circ \implies sin2^\circ + sin358^\circ = 0$

...

$sin181^\circ = sin(360^\circ - 179^\circ) = -sin179^\circ \implies sin179^\circ + sin181^\circ = 0$

Каждая из 179 пар в сумме дает 0. Таким образом, вся сумма состоит из слагаемых, равных нулю.

$0 + (0) + (0) + ... + (0) + 0 + 0 = 0$

Ответ: 0

25.6. Вычислите:

1) $ \sin 110^\circ + \sin 130^\circ + \sin 150^\circ + \dots + \sin 230^\circ + \sin 250^\circ + \sin 270^\circ $;

2) $ \text{tg} 10^\circ \text{tg} 20^\circ \text{tg} 30^\circ \dots \text{tg} 70^\circ \text{tg} 80^\circ $;

3) $ \text{ctg} 15^\circ + \text{ctg} 30^\circ + \text{ctg} 45^\circ + \dots + \text{ctg} 165^\circ $.

Данное выражение представляет собой сумму синусов углов, составляющих арифметическую прогрессию: $110°, 130°, ..., 270°$. Разность прогрессии равна $20°$. Полный ряд слагаемых выглядит так: $sin110° + sin130° + sin150° + sin170° + sin190° + sin210° + sin230° + sin250° + sin270°$.

Для упрощения воспользуемся формулами приведения $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$ и $sin(180° + \alpha) = -sin(\alpha)$. Сгруппируем слагаемые, симметричные относительно $180°$.

$sin110° + sin250° = sin(180° - 70°) + sin(180° + 70°) = sin70° - sin70° = 0$
$sin130° + sin230° = sin(180° - 50°) + sin(180° + 50°) = sin50° - sin50° = 0$
$sin150° + sin210° = sin(180° - 30°) + sin(180° + 30°) = sin30° - sin30° = 0$
$sin170° + sin190° = sin(180° - 10°) + sin(180° + 10°) = sin10° - sin10° = 0$

Сумма всех этих пар равна нулю. Единственное слагаемое, которое осталось без пары, это $sin270°$.

Поскольку $sin270° = -1$, итоговая сумма равна $0 + 0 + 0 + 0 + (-1) = -1$.

Ответ: $-1$

Рассмотрим произведение тангенсов: $tg10° \cdot tg20° \cdot tg30° \cdot tg40° \cdot tg50° \cdot tg60° \cdot tg70° \cdot tg80°$.

Используем свойство тангенса $tg(90° - \alpha) = ctg(\alpha)$ и основное тригонометрическое тождество $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$.

Сгруппируем множители в пары так, чтобы сумма углов в каждой паре была равна $90°$:

$(tg10° \cdot tg80°) \cdot (tg20° \cdot tg70°) \cdot (tg30° \cdot tg60°) \cdot (tg40° \cdot tg50°)$

Вычислим значение каждой пары:
$tg10° \cdot tg80° = tg10° \cdot tg(90° - 10°) = tg10° \cdot ctg10° = 1$
$tg20° \cdot tg70° = tg20° \cdot tg(90° - 20°) = tg20° \cdot ctg20° = 1$
$tg30° \cdot tg60° = tg30° \cdot tg(90° - 30°) = tg30° \cdot ctg30° = 1$
$tg40° \cdot tg50° = tg40° \cdot tg(90° - 40°) = tg40° \cdot ctg40° = 1$

Таким образом, всё произведение равно $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: $1$

Рассмотрим сумму котангенсов углов, составляющих арифметическую прогрессию от $15°$ до $165°$ с шагом $15°$. Всего в сумме 11 слагаемых.

Используем формулу приведения $ctg(180° - \alpha) = -ctg(\alpha)$. Сгруппируем слагаемые, чьи углы в сумме дают $180°$:

$(ctg15° + ctg165°) + (ctg30° + ctg150°) + (ctg45° + ctg135°) + (ctg60° + ctg120°) + (ctg75° + ctg105°) + ctg90°$

Каждая пара в скобках представляет собой сумму вида $ctg(\alpha) + ctg(180° - \alpha)$, которая равна $ctg(\alpha) - ctg(\alpha) = 0$. Например:
$ctg15° + ctg165° = ctg15° + ctg(180° - 15°) = ctg15° - ctg15° = 0$.
Аналогично, все пять пар слагаемых в сумме дают ноль.

Центральный член, не имеющий пары, это $ctg90°$, который также равен нулю: $ctg90° = 0$.

Следовательно, вся сумма равна $0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$

25.7. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)} + \sin^2\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = 1;$

2) $\frac{\cos^4(\alpha - \pi)}{\cos^4\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) + \sin^4\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) - 1} = -\frac{1}{2}\operatorname{ctg}^2\alpha;$

3) $\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)(\operatorname{tg}^2\alpha - 1)\operatorname{ctg}\left(\alpha - \frac{5\pi}{4}\right)\sin^{-2}\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) = 2.$

1)

Докажем тождество: $ \frac{\cos^2(\frac{\pi}{3} + \alpha)}{\text{tg}^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)} + \sin^2(\frac{\pi}{3} + \alpha) \text{tg}^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 1 $

Преобразуем левую часть равенства. Заметим, что аргументы тригонометрических функций связаны соотношением: $ (\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{2\pi + \pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $. Это означает, что углы являются дополнительными.

Воспользуемся формулами приведения для дополнительных углов:

$ \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{6} - \alpha) $

$ \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) $

Подставим эти выражения в левую часть исходного тождества:

$ \frac{\sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)}{\text{tg}^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)} + \cos^2(\frac{\pi}{3} + \alpha) \text{tg}^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)}{\frac{\sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)}{\cos^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)}} + \cos^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) \frac{\sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)}{\cos^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)} $

Упростим полученное выражение:

$ \sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) \cdot \frac{\cos^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)}{\sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)} + \sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \cos^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) + \sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) $

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, получаем:

$ \cos^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) + \sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 1 $

Таким образом, левая часть равна правой, и тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество: $ \frac{\cos^4(\alpha - \pi)}{\cos^4(\alpha - \frac{3\pi}{2}) + \sin^4(\alpha + \frac{3\pi}{2}) - 1} = -\frac{1}{2}\text{ctg}^2\alpha $

Преобразуем левую часть. Сначала упростим выражения в числителе и знаменателе с помощью формул приведения.

Числитель:

$ \cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $

$ \cos^4(\alpha - \pi) = (-\cos\alpha)^4 = \cos^4\alpha $

Знаменатель:

$ \cos(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \cos(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha $

$ \cos^4(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = (-\sin\alpha)^4 = \sin^4\alpha $

$ \sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos\alpha $

$ \sin^4(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = (-\cos\alpha)^4 = \cos^4\alpha $

Подставим упрощенные выражения в левую часть:

$ \frac{\cos^4\alpha}{\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - 1} $

Преобразуем выражение $ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha $:

$ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha $

Теперь подставим это в знаменатель дроби:

$ \frac{\cos^4\alpha}{(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 1} = \frac{\cos^4\alpha}{-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha} $

Сократим дробь на $ \cos^2\alpha $ (при условии $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{\cos^2\alpha}{-2\sin^2\alpha} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = -\frac{1}{2}\text{ctg}^2\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Докажем тождество: $ \sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) (\text{tg}^2\alpha - 1) \text{ctg}(\alpha - \frac{5\pi}{4}) \sin^{-2}(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = 2 $

Преобразуем левую часть, упрощая каждый множитель по отдельности.

1. $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha $, следовательно, $ \sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha $.

2. $ \text{tg}^2\alpha - 1 = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - 1 = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} $.

3. $ \text{ctg}(\alpha - \frac{5\pi}{4}) = \text{ctg}(\alpha - \frac{\pi}{4} - \pi) = \text{ctg}(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{4})} = \frac{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{1 + \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha - 1} $.

Переходя к синусам и косинусам: $ \frac{1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 1} = \frac{\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} $.

4. $ \sin^{-2}(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = \frac{1}{\sin^2(\frac{5\pi}{4} + \alpha)} $.

$ \sin(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = \sin(\pi + (\frac{\pi}{4} + \alpha)) = -\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.

$ \sin^2(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = (-\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha))^2 = \sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.

Используя формулу синуса суммы: $ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) $.

Тогда $ \sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = (\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha))^2 = \frac{2}{4}(\cos\alpha + \sin\alpha)^2 = \frac{1}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $.

Следовательно, $ \sin^{-2}(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = \frac{1}{\frac{1}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} = \frac{2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $.

Теперь перемножим все упрощенные множители:

$ \cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} \cdot \frac{2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $

Сокращаем $ \cos^2\alpha $:

$ (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \cdot \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} \cdot \frac{2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $

Раскладываем разность квадратов $ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha) $:

$ (\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha) \cdot \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} \cdot \frac{2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $

Сокращаем $ (\sin\alpha - \cos\alpha) $:

$ (\sin\alpha + \cos\alpha) \cdot (\sin\alpha + \cos\alpha) \cdot \frac{2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 \cdot \frac{2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $

Сокращаем $ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $:

$ 2 $

Левая часть равна 2, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.