Номер 25.7, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.7. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)}{\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)} + \sin^2\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = 1;$

2) $\frac{\cos^4(\alpha - \pi)}{\cos^4\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) + \sin^4\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) - 1} = -\frac{1}{2}\operatorname{ctg}^2\alpha;$

3) $\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)(\operatorname{tg}^2\alpha - 1)\operatorname{ctg}\left(\alpha - \frac{5\pi}{4}\right)\sin^{-2}\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) = 2.$

1)

Докажем тождество: $ \frac{\cos^2(\frac{\pi}{3} + \alpha)}{\text{tg}^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)} + \sin^2(\frac{\pi}{3} + \alpha) \text{tg}^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 1 $

Преобразуем левую часть равенства. Заметим, что аргументы тригонометрических функций связаны соотношением: $ (\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{2\pi + \pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $. Это означает, что углы являются дополнительными.

Воспользуемся формулами приведения для дополнительных углов:

$ \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{6} - \alpha) $

$ \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) $

Подставим эти выражения в левую часть исходного тождества:

$ \frac{\sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)}{\text{tg}^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)} + \cos^2(\frac{\pi}{3} + \alpha) \text{tg}^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)}{\frac{\sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)}{\cos^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)}} + \cos^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) \frac{\sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)}{\cos^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)} $

Упростим полученное выражение:

$ \sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) \cdot \frac{\cos^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)}{\sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)} + \sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \cos^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) + \sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) $

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, получаем:

$ \cos^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) + \sin^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 1 $

Таким образом, левая часть равна правой, и тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество: $ \frac{\cos^4(\alpha - \pi)}{\cos^4(\alpha - \frac{3\pi}{2}) + \sin^4(\alpha + \frac{3\pi}{2}) - 1} = -\frac{1}{2}\text{ctg}^2\alpha $

Преобразуем левую часть. Сначала упростим выражения в числителе и знаменателе с помощью формул приведения.

Числитель:

$ \cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $

$ \cos^4(\alpha - \pi) = (-\cos\alpha)^4 = \cos^4\alpha $

Знаменатель:

$ \cos(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \cos(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha $

$ \cos^4(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = (-\sin\alpha)^4 = \sin^4\alpha $

$ \sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos\alpha $

$ \sin^4(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = (-\cos\alpha)^4 = \cos^4\alpha $

Подставим упрощенные выражения в левую часть:

$ \frac{\cos^4\alpha}{\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - 1} $

Преобразуем выражение $ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha $:

$ \sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha $

Теперь подставим это в знаменатель дроби:

$ \frac{\cos^4\alpha}{(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 1} = \frac{\cos^4\alpha}{-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha} $

Сократим дробь на $ \cos^2\alpha $ (при условии $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{\cos^2\alpha}{-2\sin^2\alpha} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = -\frac{1}{2}\text{ctg}^2\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Докажем тождество: $ \sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) (\text{tg}^2\alpha - 1) \text{ctg}(\alpha - \frac{5\pi}{4}) \sin^{-2}(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = 2 $

Преобразуем левую часть, упрощая каждый множитель по отдельности.

1. $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha $, следовательно, $ \sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha $.

2. $ \text{tg}^2\alpha - 1 = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - 1 = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} $.

3. $ \text{ctg}(\alpha - \frac{5\pi}{4}) = \text{ctg}(\alpha - \frac{\pi}{4} - \pi) = \text{ctg}(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{4})} = \frac{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{1 + \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha - 1} $.

Переходя к синусам и косинусам: $ \frac{1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 1} = \frac{\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} $.

4. $ \sin^{-2}(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = \frac{1}{\sin^2(\frac{5\pi}{4} + \alpha)} $.

$ \sin(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = \sin(\pi + (\frac{\pi}{4} + \alpha)) = -\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.

$ \sin^2(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = (-\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha))^2 = \sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.

Используя формулу синуса суммы: $ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) $.

Тогда $ \sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) = (\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha))^2 = \frac{2}{4}(\cos\alpha + \sin\alpha)^2 = \frac{1}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $.

Следовательно, $ \sin^{-2}(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = \frac{1}{\frac{1}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} = \frac{2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $.

Теперь перемножим все упрощенные множители:

$ \cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} \cdot \frac{2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $

Сокращаем $ \cos^2\alpha $:

$ (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) \cdot \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} \cdot \frac{2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $

Раскладываем разность квадратов $ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha) $:

$ (\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha) \cdot \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} \cdot \frac{2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $

Сокращаем $ (\sin\alpha - \cos\alpha) $:

$ (\sin\alpha + \cos\alpha) \cdot (\sin\alpha + \cos\alpha) \cdot \frac{2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 \cdot \frac{2}{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} $

Сокращаем $ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $:

$ 2 $

Левая часть равна 2, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.