Номер 25.3, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.3. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha)}{\text{tg}(\pi - \alpha)\cos(\pi - \alpha)}$;

2) $\sin(\pi - \beta)\cos\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right)\cos(\pi - \beta)$;

3) $\sin^2(\pi - x) + \text{tg}^2(\pi - x)\text{tg}^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\cos(x - 2\pi)$;

4) $\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(\pi - x)\right)^2 + \left(\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \cos(2\pi - x)\right)^2$;

5) $\frac{\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\left(\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) + \sin(\pi + \alpha)\right)}{\text{ctg}(\pi + \alpha)(\cos(2\pi + \alpha) - \sin(2\pi - \alpha))}$.

1) Для упрощения данного выражения применим формулы приведения для каждой тригонометрической функции.

• $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен).
• $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$ (угол $2\pi - \alpha$ находится в IV четверти, где косинус положителен).
• $\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен).
• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен).

Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha)}{\text{tg}(\pi - \alpha)\cos(\pi - \alpha)} = \frac{(-\sin(\alpha))(\cos(\alpha))}{(-\text{tg}(\alpha))(-\cos(\alpha))} = \frac{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)\cos(\alpha)}$
Сократим на $\cos(\alpha)$:
$\frac{-\sin(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)}$
Используем тождество $\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$:
$\frac{-\sin(\alpha)}{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = -\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = -\cos(\alpha)$
Ответ: $-\cos(\alpha)$

2) Упростим каждый член выражения, используя формулы приведения.

• $\sin(\pi - \beta) = \sin(\beta)$ (II четверть, синус положителен).
• $\cos(\beta - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - \beta)) = \cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = \sin(\beta)$ (используем четность косинуса и формулу приведения).
• $\sin(\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos(\beta)$ (II четверть, синус положителен, функция меняется на кофункцию).
• $\cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta)$ (II четверть, косинус отрицателен).

Подставим упрощенные выражения в исходное:
$\sin(\beta) \cdot \sin(\beta) - \cos(\beta) \cdot (-\cos(\beta)) = \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$, получаем:
$\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$
Ответ: $1$

3) Упростим каждое слагаемое в выражении по отдельности.

• $\sin^2(\pi - x) = (\sin(\pi - x))^2 = (\sin(x))^2 = \sin^2(x)$
• $\text{tg}^2(\pi - x) \text{tg}^2(\frac{3\pi}{2} + x) = (-\text{tg}(x))^2 \cdot (-\text{ctg}(x))^2 = \text{tg}^2(x) \text{ctg}^2(x) = (\text{tg}(x)\text{ctg}(x))^2 = 1^2 = 1$
• $\sin(\frac{\pi}{2} + x)\cos(x - 2\pi) = \cos(x)\cos(x) = \cos^2(x)$ (используя формулу приведения и периодичность косинуса).

Теперь сложим упрощенные части:
$\sin^2(x) + 1 + \cos^2(x)$
Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2(x) + \cos^2(x)) + 1$
Применяя основное тригонометрическое тождество, получаем:
$1 + 1 = 2$
Ответ: $2$

4) Сначала упростим выражения в скобках, используя формулы приведения.
Первая скобка:
$\sin(\frac{\pi}{2} - x) + \sin(\pi - x) = \cos(x) + \sin(x)$
Вторая скобка:
$\cos(\frac{3\pi}{2} - x) + \cos(2\pi - x) = -\sin(x) + \cos(x) = \cos(x) - \sin(x)$
Теперь выражение имеет вид:
$(\cos(x) + \sin(x))^2 + (\cos(x) - \sin(x))^2$
Раскроем квадраты по формулам сокращенного умножения:
$(\cos^2(x) + 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x)) + (\cos^2(x) - 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x))$
Приведем подобные слагаемые:
$\cos^2(x) + \sin^2(x) + \cos^2(x) + \sin^2(x) + 2\cos(x)\sin(x) - 2\cos(x)\sin(x)$
Используя тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, получаем:
$1 + 1 = 2$
Ответ: $2$

5) Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения.
Упрощение числителя:
$\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\alpha)$
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$
$\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$
Числитель становится: $\text{tg}(\alpha)(-\cos(\alpha) + (-\sin(\alpha))) = -\text{tg}(\alpha)(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))$
Упрощение знаменателя:
$\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}(\alpha)$
$\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$
$\sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$
Знаменатель становится: $\text{ctg}(\alpha)(\cos(\alpha) - (-\sin(\alpha))) = \text{ctg}(\alpha)(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))$
Теперь подставим упрощенные части обратно в дробь:
$\frac{-\text{tg}(\alpha)(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))}{\text{ctg}(\alpha)(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))}$
Сократим на общий множитель $(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))$:
$\frac{-\text{tg}(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)}$
Используя тождество $\text{ctg}(\alpha) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha)}$, получаем:
$\frac{-\text{tg}(\alpha)}{\frac{1}{\text{tg}(\alpha)}} = -\text{tg}(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha) = -\text{tg}^2(\alpha)$
Ответ: $-\text{tg}^2(\alpha)$