Номер 25.4, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.4. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin(\pi - \alpha)\sin(\alpha + 2\pi)}{\text{tg}(\pi + \alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)} = -\cos\alpha;$

2) $\frac{\text{tg}(180^\circ - \alpha)\cos(180^\circ - \alpha)\text{tg}(90^\circ - \alpha)}{\sin(90^\circ + \alpha)\text{ctg}(90^\circ + \alpha)\text{tg}(90^\circ + \alpha)} = 1;$

3) $\sin(2\pi - \varphi)\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \varphi\right) - \cos(\varphi - \pi) - \sin(\varphi - \pi) = \sin\varphi;$

4) $\frac{\sin(\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)\text{tg}(\pi - \alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)} = -1.$

1) Докажем тождество: $\frac{\sin(\pi - \alpha)\sin(\alpha + 2\pi)}{\text{tg}(\pi + \alpha)\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} = -\cos\alpha$.
Преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.
Преобразуем выражения в числителе:
$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (так как угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен).
$\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha$ (так как $2\pi$ - период функции синус).
Преобразуем выражения в знаменателе:
$\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}\alpha$ (так как угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где тангенс положителен).
$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$ (так как угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен, и при прибавлении $\frac{\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию).
Подставим полученные выражения в левую часть тождества:
$\frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\text{tg}\alpha \cdot (-\sin\alpha)} = \frac{\sin^2\alpha}{-\text{tg}\alpha \cdot \sin\alpha}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, получаем:
$\frac{\sin^2\alpha}{-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{-\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}} = \sin^2\alpha \cdot \left(-\frac{\cos\alpha}{\sin^2\alpha}\right) = -\cos\alpha$.
Мы получили, что левая часть тождества равна правой: $-\cos\alpha = -\cos\alpha$.
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество: $\frac{\text{tg}(180^\circ - \alpha)\cos(180^\circ - \alpha)\text{tg}(90^\circ - \alpha)}{\sin(90^\circ + \alpha)\text{ctg}(90^\circ + \alpha)\text{tg}(90^\circ + \alpha)} = 1$.
Преобразуем левую часть, используя формулы приведения.
Преобразуем числитель дроби:
$\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (II четверть, тангенс отрицателен).
$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ (II четверть, косинус отрицателен).
$\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}\alpha$ (I четверть, тангенс положителен, функция меняется на кофункцию).
Произведение в числителе: $(-\text{tg}\alpha)(-\cos\alpha)(\text{ctg}\alpha) = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha$.
Преобразуем знаменатель дроби:
$\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha$ (II четверть, синус положителен, функция меняется на кофункцию).
$\text{ctg}(90^\circ + \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (II четверть, котангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$\text{tg}(90^\circ + \alpha) = -\text{ctg}\alpha$ (II четверть, тангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
Произведение в знаменателе: $(\cos\alpha)(-\text{tg}\alpha)(-\text{ctg}\alpha) = \cos\alpha \cdot (\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha) = \cos\alpha \cdot 1 = \cos\alpha$.
Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} = 1$.
Левая часть равна правой: $1 = 1$.
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество: $\sin(2\pi - \varphi)\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi) - \cos(\varphi - \pi) - \sin(\varphi - \pi) = \sin\varphi$.
Преобразуем левую часть равенства, применяя формулы приведения и свойства четности/нечетности функций.
$\sin(2\pi - \varphi) = -\sin\varphi$ (IV четверть, синус отрицателен).
$\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi) = \text{ctg}\varphi$ (III четверть, тангенс положителен, функция меняется на кофункцию).
$\cos(\varphi - \pi) = \cos(-(\pi - \varphi)) = \cos(\pi - \varphi) = -\cos\varphi$ (косинус — четная функция; угол $\pi - \varphi$ во II четверти, где косинус отрицателен).
$\sin(\varphi - \pi) = -\sin(\pi - \varphi) = -\sin\varphi$ (синус — нечетная функция; угол $\pi - \varphi$ во II четверти, где синус положителен).
Подставим преобразованные выражения в левую часть:
$(-\sin\varphi)(\text{ctg}\varphi) - (-\cos\varphi) - (-\sin\varphi) = -\sin\varphi \cdot \text{ctg}\varphi + \cos\varphi + \sin\varphi$.
Заменим $\text{ctg}\varphi$ на $\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$:
$-\sin\varphi \cdot \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi} + \cos\varphi + \sin\varphi = -\cos\varphi + \cos\varphi + \sin\varphi = \sin\varphi$.
Левая часть равна правой: $\sin\varphi = \sin\varphi$.
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество: $\frac{\sin(\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)\text{tg}(\pi - \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha)\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} = -1$.
Преобразуем левую часть, используя формулы приведения.
Преобразуем числитель:
$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (II четверть, синус положителен).
$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$ (III четверть, косинус отрицателен).
$\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (II четверть, тангенс отрицателен).
Произведение в числителе: $(\sin\alpha)(-\cos\alpha)(-\text{tg}\alpha) = \sin\alpha \cdot \cos\alpha \cdot \text{tg}\alpha = \sin\alpha \cdot \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin^2\alpha$.
Преобразуем знаменатель:
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha$ (III четверть, синус отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (IV четверть, котангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$ (II четверть, косинус отрицателен, функция меняется на кофункцию).
Произведение в знаменателе: $(-\cos\alpha)(-\text{tg}\alpha)(-\sin\alpha) = -(\cos\alpha \cdot \text{tg}\alpha \cdot \sin\alpha) = -(\cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \sin\alpha) = -\sin^2\alpha$.
Разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$\frac{\sin^2\alpha}{-\sin^2\alpha} = -1$.
Левая часть равна правой: $-1 = -1$.
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.