Номер 25.10, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.10. Сумма положительных чисел $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ равна $\frac{\pi}{2}$. Докажите, что $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma > \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma$.

Дано, что $\alpha, \beta, \gamma$ — положительные числа и $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$. Требуется доказать неравенство: $\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma > \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma$.

Перепишем доказываемое неравенство в следующем виде:$(\cos\alpha - \sin\alpha) + (\cos\beta - \sin\beta) + (\cos\gamma - \sin\gamma) > 0$.

Рассмотрим функцию $f(\alpha, \beta, \gamma) = (\cos\alpha - \sin\alpha) + (\cos\beta - \sin\beta) + (\cos\gamma - \sin\gamma)$. Наша задача — доказать, что $f(\alpha, \beta, \gamma) > 0$ в области, заданной условиями $\alpha > 0$, $\beta > 0$, $\gamma > 0$ и $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$. Эта область представляет собой открытый треугольник.

Исследуем поведение функции на границе этой области. Граница соответствует случаю, когда одна из переменных равна нулю. Пусть, например, $\gamma = 0$. Тогда $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$, где $\alpha \ge 0$ и $\beta \ge 0$. Подставим эти значения в функцию:$f(\alpha, \beta, 0) = (\cos\alpha - \sin\alpha) + (\cos\beta - \sin\beta) + (\cos 0 - \sin 0)$. Так как $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$, то $\cos\beta = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$ и $\sin\beta = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$. Тогда:$f(\alpha, \frac{\pi}{2} - \alpha, 0) = (\cos\alpha - \sin\alpha) + (\sin\alpha - \cos\alpha) + (1 - 0) = 1$. Таким образом, на всей границе области определения значение функции постоянно и равно 1.

Теперь найдем стационарные точки функции внутри области с помощью метода множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:$L(\alpha, \beta, \gamma, \lambda) = f(\alpha, \beta, \gamma) - \lambda(\alpha + \beta + \gamma - \frac{\pi}{2})$. Приравняем частные производные к нулю:$\frac{\partial L}{\partial \alpha} = -\sin\alpha - \cos\alpha - \lambda = 0$$\frac{\partial L}{\partial \beta} = -\sin\beta - \cos\beta - \lambda = 0$$\frac{\partial L}{\partial \gamma} = -\sin\gamma - \cos\gamma - \lambda = 0$Из этих уравнений следует, что $\sin\alpha + \cos\alpha = \sin\beta + \cos\beta = \sin\gamma + \cos\gamma$.

Рассмотрим функцию $g(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. На этом интервале аргумент $x + \frac{\pi}{4}$ находится в интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$. Функция $\sin(y)$ на интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ симметрична относительно $y=\frac{\pi}{2}$. Поэтому равенство $g(x_1) = g(x_2)$ выполняется, только если $x_1 = x_2$ или $x_1 + x_2 = \frac{\pi}{2}$. Отсюда для наших переменных $\alpha, \beta, \gamma$ следует, что они либо все равны, либо попарные суммы некоторых из них равны $\frac{\pi}{2}$.1. Если $\alpha = \beta = \gamma$, то из условия $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$ получаем $\alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{6}$. Это точка внутри нашей области.2. Если, например, $\alpha = \beta$ и $\alpha + \gamma = \frac{\pi}{2}$. Подставляя в основное условие $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$, получаем $2\alpha + \gamma = \frac{\pi}{2}$. Решая систему $\{\begin{array}{l} \alpha + \gamma = \pi/2 \\ 2\alpha + \gamma = \pi/2 \end{array}$, находим $\alpha=0$, что соответствует граничной точке, а не внутренней.

Таким образом, единственная стационарная точка внутри области — это $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6})$. Найдем значение функции в этой точке:$f(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}) = 3(\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}) = 3(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{3(\sqrt{3}-1)}{2}$.

Сравним это значение со значением на границе (равным 1):$\frac{3(\sqrt{3}-1)}{2} > 1 \iff 3\sqrt{3}-3 > 2 \iff 3\sqrt{3} > 5 \iff (3\sqrt{3})^2 > 5^2 \iff 27 > 25$. Неравенство верно, значит, значение функции в стационарной точке больше, чем на границе.

Функция $f(\alpha, \beta, \gamma)$ непрерывна на замкнутой области (треугольник с его границами). По теореме Вейерштрасса она достигает своего наименьшего значения. Это значение может достигаться либо на границе, либо во внутренней стационарной точке. Мы выяснили, что значение на границе равно 1, а в единственной стационарной точке оно больше 1. Можно также показать, что эта точка является точкой максимума. Следовательно, наименьшее значение функции на всей замкнутой области равно 1 и достигается только на границе.

Поскольку по условию задачи числа $\alpha, \beta, \gamma$ строго положительны, рассматриваемая точка $(\alpha, \beta, \gamma)$ находится строго внутри области. Для любой такой точки значение функции $f(\alpha, \beta, \gamma)$ должно быть больше наименьшего значения, которое достигается на границе. Следовательно, $f(\alpha, \beta, \gamma) > 1$. Если $f(\alpha, \beta, \gamma) > 1$, то очевидно, что $f(\alpha, \beta, \gamma) > 0$. Таким образом, $\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma > \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.