Номер 26.1, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.1. Упростите выражение:

1) $ \cos 2\alpha + \sin^2\alpha; $

2) $ \frac{\sin 50^\circ}{2 \cos 25^\circ}; $

3) $ \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}; $

4) $ 1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{4}; $

5) $ \frac{\sin^2\alpha \operatorname{ctg}\alpha}{\sin 2\alpha}; $

6) $ \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{1 - 2\sin^2\alpha}; $

7) $ \cos^4\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \sin^4\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right); $

8) $ \frac{\operatorname{tg}(45^\circ + \alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2(45^\circ + \alpha)}. $

1) $cos2\alpha + sin^2\alpha$

Используем одну из формул косинуса двойного угла: $cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Подставим ее в выражение:

$cos2\alpha + sin^2\alpha = (cos^2\alpha - sin^2\alpha) + sin^2\alpha = cos^2\alpha$

Ответ: $cos^2\alpha$

2) $\frac{sin50^\circ}{2cos25^\circ}$

Применим формулу синуса двойного угла $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$.

В нашем случае, $50^\circ = 2 \cdot 25^\circ$. Тогда $sin50^\circ = 2sin25^\circ cos25^\circ$.

Подставим в исходное выражение:

$\frac{2sin25^\circ cos25^\circ}{2cos25^\circ} = sin25^\circ$

Ответ: $sin25^\circ$

3) $\frac{cos2\alpha}{cos\alpha - sin\alpha}$

Используем формулу косинуса двойного угла: $cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Числитель можно разложить как разность квадратов: $cos^2\alpha - sin^2\alpha = (cos\alpha - sin\alpha)(cos\alpha + sin\alpha)$.

Подставим в дробь:

$\frac{(cos\alpha - sin\alpha)(cos\alpha + sin\alpha)}{cos\alpha - sin\alpha} = cos\alpha + sin\alpha$

Ответ: $cos\alpha + sin\alpha$

4) $1 - 2sin^2\frac{\alpha}{4}$

Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $cos2x = 1 - 2sin^2x$.

В нашем случае $x = \frac{\alpha}{4}$, тогда $2x = 2 \cdot \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2}$.

Следовательно, выражение равно $cos(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $cos\frac{\alpha}{2}$

5) $\frac{sin^2\alpha \cdot ctg\alpha}{sin2\alpha}$

Распишем котангенс и синус двойного угла по формулам: $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$ и $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$.

Преобразуем числитель: $sin^2\alpha \cdot \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = sin\alpha cos\alpha$.

Теперь подставим все в исходную дробь:

$\frac{sin\alpha cos\alpha}{2sin\alpha cos\alpha} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

6) $\frac{sin\alpha cos\alpha}{1 - 2sin^2\alpha}$

В знаменателе стоит формула косинуса двойного угла: $1 - 2sin^2\alpha = cos2\alpha$.

Числитель является половиной от синуса двойного угла: $sin\alpha cos\alpha = \frac{1}{2}sin2\alpha$.

Подставим преобразованные части в дробь:

$\frac{\frac{1}{2}sin2\alpha}{cos2\alpha} = \frac{1}{2}\frac{sin2\alpha}{cos2\alpha} = \frac{1}{2}tg2\alpha$

Ответ: $\frac{1}{2}tg2\alpha$

7) $cos^4(\frac{\pi}{4} - \alpha) - sin^4(\frac{\pi}{4} - \alpha)$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ и $b = sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

$(cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) - sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha))(cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) + sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha))$

Вторая скобка равна 1 по основному тригонометрическому тождеству ($cos^2x + sin^2x = 1$).

Первая скобка является формулой косинуса двойного угла ($cos^2x - sin^2x = cos2x$).

Получаем: $cos(2(\frac{\pi}{4} - \alpha)) = cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$.

По формуле приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = sin\beta$.

Следовательно, $cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = sin2\alpha$.

Ответ: $sin2\alpha$

8) $\frac{tg(45^\circ + \alpha)}{1 - tg^2(45^\circ + \alpha)}$

Это выражение похоже на формулу тангенса двойного угла $tg2x = \frac{2tgx}{1 - tg^2x}$.

Чтобы привести наше выражение к этой формуле, умножим и разделим его на 2:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2tg(45^\circ + \alpha)}{1 - tg^2(45^\circ + \alpha)} = \frac{1}{2}tg(2(45^\circ + \alpha))$

Упростим аргумент тангенса:

$\frac{1}{2}tg(90^\circ + 2\alpha)$

Используем формулу приведения $tg(90^\circ + \beta) = -ctg\beta$.

Получаем: $\frac{1}{2}(-ctg(2\alpha)) = -\frac{1}{2}ctg(2\alpha)$.

Ответ: $-\frac{1}{2}ctg(2\alpha)$