gdz.top
Номер 24.7, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 24. Формулы сложения - номер 24.7, страница 178.
№24.6
№24.7 (с. 178)
Условие. №24.7 (с. 178)
24.7. Дано:
$\sin\alpha = \frac{9}{41}$, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите $\sin(\alpha + 45^\circ)$.
Решение. №24.7 (с. 178)
Для того чтобы найти значение $\sin(\alpha + 45^\circ)$, воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
Применительно к нашей задаче, где $\beta = 45^\circ$, формула выглядит так:
$\sin(\alpha + 45^\circ) = \sin\alpha \cos 45^\circ + \cos\alpha \sin 45^\circ$
Из условия мы знаем, что $\sin\alpha = \frac{9}{41}$. Также нам известны значения тригонометрических функций для угла $45^\circ$: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Чтобы завершить вычисление, нам необходимо найти значение $\cos\alpha$.
Мы можем найти $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Выразим из него $\cos^2\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$
Подставим известное значение $\sin\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{9}{41}\right)^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681}$
Отсюда следует, что $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm\frac{40}{41}$.
В условии задачи указано, что $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Этот диапазон углов соответствует второй координатной четверти. В этой четверти косинус принимает отрицательные значения, поэтому мы выбираем знак "минус":
$\cos\alpha = -\frac{40}{41}$
Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем подставить их в формулу синуса суммы:
$\sin(\alpha + 45^\circ) = \sin\alpha \cos 45^\circ + \cos\alpha \sin 45^\circ = \frac{9}{41} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{40}{41}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
Выполним вычисления:
$\sin(\alpha + 45^\circ) = \frac{9\sqrt{2}}{82} - \frac{40\sqrt{2}}{82} = \frac{9\sqrt{2} - 40\sqrt{2}}{82} = \frac{(9-40)\sqrt{2}}{82} = -\frac{31\sqrt{2}}{82}$
Ответ: $-\frac{31\sqrt{2}}{82}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 24.7 расположенного на странице 178 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.7 (с. 178), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.