Номер 24.1, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.1. Упростите выражение:

1) $ \sin \alpha \cos 4\alpha + \cos \alpha \sin 4\alpha; $

2) $ \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} - \sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8}; $

3) $ \sin \alpha \sin (\alpha + \beta) + \cos \alpha \cos (\alpha + \beta); $

4) $ \sin 53^\circ \cos 7^\circ - \cos 53^\circ \sin (-7^\circ); $

5) $ \cos(\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta. $

1) Данное выражение соответствует формуле синуса суммы: $sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B$.
В нашем случае $A = \alpha$ и $B = 4\alpha$.
$sin \alpha cos 4\alpha + cos \alpha sin 4\alpha = sin(\alpha + 4\alpha) = sin(5\alpha)$.
Ответ: $sin(5\alpha)$

2) Данное выражение соответствует формуле косинуса суммы: $cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B$.
В нашем случае $A = \frac{3\pi}{8}$ и $B = \frac{\pi}{8}$.
$cos\frac{3\pi}{8}cos\frac{\pi}{8} - sin\frac{3\pi}{8}sin\frac{\pi}{8} = cos(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = cos(\frac{4\pi}{8}) = cos(\frac{\pi}{2})$.
Значение $cos(\frac{\pi}{2})$ равно 0.
Ответ: 0

3) Данное выражение соответствует формуле косинуса разности: $cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B$.
Перепишем выражение: $cos \alpha cos(\alpha + \beta) + sin \alpha sin(\alpha + \beta)$.
В нашем случае $A = \alpha$ и $B = \alpha + \beta$.
$cos(\alpha - (\alpha + \beta)) = cos(\alpha - \alpha - \beta) = cos(-\beta)$.
Так как функция косинус четная ($cos(-x) = cos(x)$), то $cos(-\beta) = cos(\beta)$.
Ответ: $cos(\beta)$

4) Используем свойство нечетности синуса: $sin(-x) = -sin(x)$.
Выражение $sin 53^\circ cos 7^\circ - cos 53^\circ sin(-7^\circ)$ преобразуется в $sin 53^\circ cos 7^\circ - cos 53^\circ (-sin 7^\circ) = sin 53^\circ cos 7^\circ + cos 53^\circ sin 7^\circ$.
Это формула синуса суммы $sin(A + B)$, где $A = 53^\circ$ и $B = 7^\circ$.
$sin(53^\circ + 7^\circ) = sin(60^\circ)$.
$sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

5) Раскроем $cos(\alpha + \beta)$ по формуле косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$.
Подставим это в исходное выражение:
$(cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta) + 2sin \alpha sin \beta = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$.
Полученное выражение является формулой косинуса разности $cos(\alpha - \beta)$.
Ответ: $cos(\alpha - \beta)$