Номер 23.19, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.19. Найдите наибольшее значение функции $f(x) = \sin^{14} x + \cos^{14} x$.

Дана функция $f(x) = \sin^{14}x + \cos^{14}x$.

Поскольку показатели степени четные, мы можем переписать функцию в следующем виде: $f(x) = (\sin^2x)^7 + (\cos^2x)^7$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sin^2x$ и $b = \cos^2x$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2x + \cos^2x = 1$ следует, что $a+b=1$. Кроме того, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Следовательно, переменные $a$ и $b$ принимают значения из отрезка $[0, 1]$.

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения выражения $g(a,b) = a^7 + b^7$ при условиях $a+b=1$, $a \ge 0$, $b \ge 0$.

Воспользуемся тем, что для любого числа $u \in [0, 1]$ и для любого натурального $n \ge 1$ справедливо неравенство $u^n \le u$. Равенство достигается только при $u=0$ или $u=1$.

Применим это свойство к нашим переменным $a$ и $b$ при $n=7$: $a^7 \le a$ $b^7 \le b$

Сложив эти два неравенства, получим: $a^7 + b^7 \le a + b$

Так как $a+b=1$, мы имеем: $f(x) = a^7 + b^7 \le 1$

Это означает, что значение функции не может превышать 1. Теперь проверим, достигается ли это значение.

Равенство $a^7 + b^7 = a + b = 1$ возможно тогда и только тогда, когда оба неравенства $a^7 \le a$ и $b^7 \le b$ обращаются в равенства. Это происходит в следующих случаях:

1. $a=1$ и $b=0$. Это соответствует $\sin^2x = 1$ и $\cos^2x = 0$. Такие значения достигаются, например, при $x = \frac{\pi}{2}$. При этом $f(\frac{\pi}{2}) = \sin^{14}(\frac{\pi}{2}) + \cos^{14}(\frac{\pi}{2}) = 1^{14} + 0^{14} = 1$.

2. $a=0$ и $b=1$. Это соответствует $\sin^2x = 0$ и $\cos^2x = 1$. Такие значения достигаются, например, при $x = 0$. При этом $f(0) = \sin^{14}(0) + \cos^{14}(0) = 0^{14} + 1^{14} = 1$.

Поскольку мы показали, что $f(x) \le 1$ для всех $x$, и нашли значения $x$, при которых $f(x) = 1$, то наибольшее значение функции равно 1.

Ответ: 1.