Номер 23.9, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.9. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{3}$;

2) $\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = -2$;

3) $\frac{8 \sin \alpha - 3 \cos \alpha}{\sin^3 \alpha + 5 \sin^2 \alpha \cos \alpha - 8 \cos^3 \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = -3$.

1) Дано выражение $\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$ и известно, что $\text{tg}\alpha = \frac{1}{3}$.

Поскольку тангенс определен ($\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$), то $\cos\alpha \neq 0$. Это позволяет нам разделить и числитель, и знаменатель дроби на $\cos\alpha$:

$\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\text{tg}\alpha - 1}{\text{tg}\alpha + 1}$

Теперь подставим заданное значение $\text{tg}\alpha = \frac{1}{3}$ в полученное выражение:

$\frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{1 - 3}{3}}{\frac{1 + 3}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) Дано выражение $\frac{2\cos^2\alpha - 7\sin^2\alpha}{3\cos^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha}$ и известно, что $\text{ctg}\alpha = -2$.

Поскольку котангенс определен ($\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$), то $\sin\alpha \neq 0$. Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin^2\alpha$:

$\frac{2\cos^2\alpha - 7\sin^2\alpha}{3\cos^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\frac{2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{7\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{3\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{4\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha}}$

Используя определение котангенса, преобразуем выражение:

$\frac{2(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2 - 7}{3(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2 + 4(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})} = \frac{2\text{ctg}^2\alpha - 7}{3\text{ctg}^2\alpha + 4\text{ctg}\alpha}$

Подставим заданное значение $\text{ctg}\alpha = -2$:

$\frac{2(-2)^2 - 7}{3(-2)^2 + 4(-2)} = \frac{2 \cdot 4 - 7}{3 \cdot 4 - 8} = \frac{8 - 7}{12 - 8} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Дано выражение $\frac{8\sin\alpha - 3\cos\alpha}{\sin^3\alpha + 5\sin^2\alpha\cos\alpha - 8\cos^3\alpha}$ и известно, что $\text{tg}\alpha = -3$.

Из условия $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -3$ выразим $\sin\alpha$ через $\cos\alpha$:

$\sin\alpha = -3\cos\alpha$

Подставим это соотношение в числитель и знаменатель исходного выражения.

Числитель:

$8\sin\alpha - 3\cos\alpha = 8(-3\cos\alpha) - 3\cos\alpha = -24\cos\alpha - 3\cos\alpha = -27\cos\alpha$

Знаменатель:

$\sin^3\alpha + 5\sin^2\alpha\cos\alpha - 8\cos^3\alpha = (-3\cos\alpha)^3 + 5(-3\cos\alpha)^2\cos\alpha - 8\cos^3\alpha$

$= -27\cos^3\alpha + 5(9\cos^2\alpha)\cos\alpha - 8\cos^3\alpha = -27\cos^3\alpha + 45\cos^3\alpha - 8\cos^3\alpha$

$= (-27 + 45 - 8)\cos^3\alpha = 10\cos^3\alpha$

Теперь запишем дробь с преобразованными числителем и знаменателем:

$\frac{-27\cos\alpha}{10\cos^3\alpha} = \frac{-27}{10\cos^2\alpha}$

Для нахождения значения $\cos^2\alpha$ используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

$\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$

Отсюда следует, что $\cos^2\alpha = \frac{1}{10}$.

Подставим найденное значение $\cos^2\alpha$ в наше выражение:

$\frac{-27}{10 \cdot \frac{1}{10}} = \frac{-27}{1} = -27$

Ответ: $-27$