Номер 23.10, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.10. Найдите значение выражения:

1) $\frac{5 \cos \alpha + 6 \sin \alpha}{3 \sin \alpha - 7 \cos \alpha}$, если $\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{1}{2}$;

2) $\frac{2 \sin^3 \alpha + 3 \cos^3 \alpha}{5 \sin \alpha - \cos \alpha}$, если $\mathrm{tg} \, \alpha = -4.

1) Найти значение выражения $\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 7\cos\alpha}$, если $\tg\alpha = \frac{1}{2}$.

Поскольку значение тангенса определено ($\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$), то $\cos\alpha \neq 0$. Это позволяет нам разделить числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$, чтобы выразить всё через $\tg\alpha$.

$$ \frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 7\cos\alpha} = \frac{\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha - 7\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{5\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + 6\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{3\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 7\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{5 + 6\tg\alpha}{3\tg\alpha - 7} $$

Теперь подставим известное значение $\tg\alpha = \frac{1}{2}$ в полученное выражение:

$$ \frac{5 + 6 \cdot \frac{1}{2}}{3 \cdot \frac{1}{2} - 7} = \frac{5 + 3}{\frac{3}{2} - 7} = \frac{8}{\frac{3}{2} - \frac{14}{2}} = \frac{8}{-\frac{11}{2}} = 8 \cdot \left(-\frac{2}{11}\right) = -\frac{16}{11} $$

Ответ: $-\frac{16}{11}$.

2) Найти значение выражения $\frac{2\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha}{5\sin\alpha - \cos\alpha}$, если $\tg\alpha = -4$.

Так как значение тангенса определено, $\cos\alpha \neq 0$. Преобразуем данное выражение. Для этого вынесем $\cos^3\alpha$ за скобки в числителе и $\cos\alpha$ в знаменателе.

$$ \frac{2\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha}{5\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\cos^3\alpha \left(2\frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} + 3\right)}{\cos\alpha \left(5\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 1\right)} = \cos^2\alpha \cdot \frac{2\tg^3\alpha + 3}{5\tg\alpha - 1} $$

Теперь нам нужно найти значение $\cos^2\alpha$. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, из которого следует, что $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tg^2\alpha}$.

Подставим значение $\tg\alpha = -4$:

$$ \cos^2\alpha = \frac{1}{1 + (-4)^2} = \frac{1}{1 + 16} = \frac{1}{17} $$

Подставим найденные значения $\cos^2\alpha = \frac{1}{17}$ и $\tg\alpha = -4$ в преобразованное выражение:

$$ \frac{1}{17} \cdot \frac{2(-4)^3 + 3}{5(-4) - 1} = \frac{1}{17} \cdot \frac{2(-64) + 3}{-20 - 1} = \frac{1}{17} \cdot \frac{-128 + 3}{-21} = \frac{1}{17} \cdot \frac{-125}{-21} = \frac{125}{17 \cdot 21} = \frac{125}{357} $$

Ответ: $\frac{125}{357}$.