Номер 23.11, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.11. Упростите выражение:

1) $\sqrt{\cos^2 \beta(1 + \text{tg}\beta) + \sin^2 \beta(1 + \text{ctg}\beta)}$, если $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$

2) $\sqrt{\frac{1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cos^2 \beta}{\text{tg}\beta \text{ctg}\alpha}}$, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$

3) $\sqrt{2 - 2\cos^2 \beta + \sqrt{2\sin^2 \beta - 2\sqrt{2}\sin\beta + 1}}$, если $\frac{3\pi}{4} \le \beta \le \pi$.

1)Упростим выражение под знаком корня. Для этого раскроем скобки:
$ \cos^2 \beta(1 + \operatorname{tg}\beta) + \sin^2 \beta(1 + \operatorname{ctg}\beta) = \cos^2\beta + \cos^2\beta \operatorname{tg}\beta + \sin^2\beta + \sin^2\beta \operatorname{ctg}\beta $
Используем определения тангенса $ \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $ и котангенса $ \operatorname{ctg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} $:
$ \cos^2\beta + \cos^2\beta \frac{\sin\beta}{\cos\beta} + \sin^2\beta + \sin^2\beta \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \cos^2\beta + \cos\beta\sin\beta + \sin^2\beta + \sin\beta\cos\beta $
Сгруппируем слагаемые:
$ (\sin^2\beta + \cos^2\beta) + 2\sin\beta\cos\beta $
Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ 2\sin\beta\cos\beta = \sin(2\beta) $. Также можно заметить, что полученное выражение является формулой квадрата суммы: $ (\sin\beta + \cos\beta)^2 $.
Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$ \sqrt{(\sin\beta + \cos\beta)^2} = |\sin\beta + \cos\beta| $
По условию $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $. Это III координатная четверть, в которой и синус, и косинус принимают отрицательные значения: $ \sin\beta < 0 $ и $ \cos\beta < 0 $.
Следовательно, их сумма также отрицательна: $ \sin\beta + \cos\beta < 0 $.
Раскрываем модуль со знаком минус:
$ |\sin\beta + \cos\beta| = -(\sin\beta + \cos\beta) = -\sin\beta - \cos\beta $
Ответ: $ -\sin\beta - \cos\beta $

2)Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $ \sqrt{1 - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha\cos^2\beta} $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha $:
$ \sqrt{\cos^2\alpha - \cos^2\alpha\cos^2\beta} $
Вынесем $ \cos^2\alpha $ за скобки:
$ \sqrt{\cos^2\alpha(1 - \cos^2\beta)} $
Снова используем тождество $ 1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta $:
$ \sqrt{\cos^2\alpha\sin^2\beta} = \sqrt{(\cos\alpha\sin\beta)^2} = |\cos\alpha\sin\beta| = |\cos\alpha||\sin\beta| $
Определим знаки сомножителей по условиям.
Для $ \alpha $: $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $ (III четверть), следовательно, $ \cos\alpha < 0 $, и $ |\cos\alpha| = -\cos\alpha $.
Для $ \beta $: $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $ (II четверть), следовательно, $ \sin\beta > 0 $, и $ |\sin\beta| = \sin\beta $.
Таким образом, числитель равен $ -\cos\alpha\sin\beta $.
Знаменатель: $ \operatorname{tg}\beta\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\beta\cos\alpha}{\cos\beta\sin\alpha} $.
Теперь разделим упрощенный числитель на знаменатель:
$ \frac{-\cos\alpha\sin\beta}{\frac{\sin\beta\cos\alpha}{\cos\beta\sin\alpha}} = -\cos\alpha\sin\beta \cdot \frac{\cos\beta\sin\alpha}{\sin\beta\cos\alpha} $
Сократим одинаковые множители $ \cos\alpha $ и $ \sin\beta $ в числителе и знаменателе:
$ -\cos\beta\sin\alpha $
Ответ: $ -\sin\alpha\cos\beta $

3)Рассмотрим каждое слагаемое в выражении $ \sqrt{2 - 2\cos^2\beta} + \sqrt{2\sin^2\beta - 2\sqrt{2}\sin\beta + 1} $.
Первое слагаемое:
$ \sqrt{2 - 2\cos^2\beta} = \sqrt{2(1 - \cos^2\beta)} = \sqrt{2\sin^2\beta} = \sqrt{2}|\sin\beta| $
По условию $ \frac{3\pi}{4} \le \beta \le \pi $. Этот промежуток относится ко II четверти, где $ \sin\beta \ge 0 $.
Значит, $ |\sin\beta| = \sin\beta $, и первое слагаемое равно $ \sqrt{2}\sin\beta $.
Второе слагаемое:
$ \sqrt{2\sin^2\beta - 2\sqrt{2}\sin\beta + 1} $
Выражение под корнем можно представить в виде полного квадрата разности:
$ 2\sin^2\beta - 2\sqrt{2}\sin\beta + 1 = (\sqrt{2}\sin\beta)^2 - 2 \cdot (\sqrt{2}\sin\beta) \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2}\sin\beta - 1)^2 $
Тогда второе слагаемое равно $ \sqrt{(\sqrt{2}\sin\beta - 1)^2} = |\sqrt{2}\sin\beta - 1| $.
Оценим знак выражения $ \sqrt{2}\sin\beta - 1 $ при условии $ \frac{3\pi}{4} \le \beta \le \pi $.
На этом промежутке функция $ \sin\beta $ убывает от $ \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ до $ \sin(\pi) = 0 $.
Следовательно, $ 0 \le \sin\beta \le \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Умножим все части неравенства на $ \sqrt{2} $:
$ 0 \le \sqrt{2}\sin\beta \le \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $, что дает $ 0 \le \sqrt{2}\sin\beta \le 1 $.
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$ -1 \le \sqrt{2}\sin\beta - 1 \le 0 $.
Выражение $ \sqrt{2}\sin\beta - 1 $ на данном промежутке является неположительным, поэтому его модуль раскрывается со знаком минус:
$ |\sqrt{2}\sin\beta - 1| = -(\sqrt{2}\sin\beta - 1) = 1 - \sqrt{2}\sin\beta $.
Сложим упрощенные слагаемые:
$ \sqrt{2}\sin\beta + (1 - \sqrt{2}\sin\beta) = \sqrt{2}\sin\beta + 1 - \sqrt{2}\sin\beta = 1 $.
Ответ: $ 1 $