Номер 20.22, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.22. Функция $f$ такова, что функция $y = (f(x))^2 + f(x)$ – периодическая.

Обязательно ли функция $f$ также является периодической?

Нет, не обязательно. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — функцию $f(x)$, которая не является периодической, в то время как функция $y = (f(x))^2 + f(x)$ является периодической.

Рассмотрим условие периодичности функции $y$. Пусть $g(x) = (f(x))^2 + f(x)$. Если $g(x)$ периодическая с периодом $T \neq 0$, то для любого $x$ из области определения выполняется равенство:

$g(x+T) = g(x)$

$(f(x+T))^2 + f(x+T) = (f(x))^2 + f(x)$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:

$\left((f(x+T))^2 - (f(x))^2\right) + (f(x+T) - f(x)) = 0$

Разложим разность квадратов на множители:

$(f(x+T) - f(x))(f(x+T) + f(x)) + (f(x+T) - f(x)) = 0$

Вынесем общий множитель $(f(x+T) - f(x))$ за скобки:

$(f(x+T) - f(x))(f(x+T) + f(x) + 1) = 0$

Это равенство означает, что для каждого значения $x$ должно выполняться хотя бы одно из двух условий:

1. $f(x+T) = f(x)$

2. $f(x+T) = -f(x) - 1$

Для того чтобы функция $f(x)$ была периодической с периодом $T$, необходимо, чтобы для всех $x$ выполнялось первое условие. Однако, исходное условие позволяет "переключаться" между этими двумя вариантами для разных $x$. Это позволяет построить непериодическую функцию $f(x)$, для которой $g(x)$ будет периодической.

В качестве контрпримера рассмотрим следующую функцию $f(x)$.

Пусть $s_n$ — последовательность Туэ-Морса, где $s_n$ равно количеству единиц в двоичной записи неотрицательного целого числа $n$ по модулю 2. Последовательность начинается так: $0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, \ldots$. Эта последовательность является непериодической.

Определим функцию $f(x)$ через эту последовательность:

$f(x) = -s_{\lfloor x \rfloor}$

где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$ (пол).

Поскольку последовательность $s_n$ не является периодической, построенная на ее основе ступенчатая функция $f(x)$ также не является периодической.

При этом функция $f(x)$ принимает только два значения: $0$ (когда $s_{\lfloor x \rfloor}=0$) и $-1$ (когда $s_{\lfloor x \rfloor}=1$).

Теперь рассмотрим функцию $y = (f(x))^2 + f(x)$.

Проверим ее значения в зависимости от значений $f(x)$:

• Если $f(x) = 0$, то $y = (0)^2 + 0 = 0$.
• Если $f(x) = -1$, то $y = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, для любого действительного $x$ значение функции $y = (f(x))^2 + f(x)$ всегда равно $0$.

Функция $y(x)=0$ является константой, а любая константа — периодическая функция (ее периодом может быть любое действительное число $T \neq 0$).

Следовательно, мы построили непериодическую функцию $f(x)$, для которой функция $y = (f(x))^2 + f(x)$ является периодической. Это доказывает, что из периодичности $y$ не следует периодичность $f$.

Ответ: не обязательно.