Номер 20.15, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.15. При каких значениях параметра $a$ число $\frac{\pi}{2}$ является периодом функции $f(x) = \frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x}$?

Для того чтобы число $T = \frac{\pi}{2}$ было периодом функции $f(x) = \frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x}$, необходимо, чтобы для любого $x$ из области определения функции выполнялось равенство $f(x + T) = f(x)$.

Во-первых, область определения функции $D(f)$ задается условием $3a + \sin 2x \neq 0$. Если $x \in D(f)$, то и $x+T$ должно принадлежать $D(f)$. Это означает, что $3a + \sin(2(x + \frac{\pi}{2})) \neq 0$. Так как $\sin(2(x + \frac{\pi}{2})) = \sin(2x + \pi) = -\sin 2x$, то должно выполняться условие $3a - \sin 2x \neq 0$.

Теперь подставим $x + \frac{\pi}{2}$ в функцию $f(x)$:

$f(x + \frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(2(x + \frac{\pi}{2}))}{3a + \sin(2(x + \frac{\pi}{2}))}$

Упростим числитель и знаменатель:

$\cos(2(x + \frac{\pi}{2})) = \cos(2x + \pi) = -\cos 2x$

$\sin(2(x + \frac{\pi}{2})) = \sin(2x + \pi) = -\sin 2x$

Таким образом, выражение для $f(x + \frac{\pi}{2})$ принимает вид:

$f(x + \frac{\pi}{2}) = \frac{-\cos 2x}{3a - \sin 2x}$

Приравняем $f(x)$ и $f(x + \frac{\pi}{2})$:

$\frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x} = \frac{-\cos 2x}{3a - \sin 2x}$

Перенесем все в одну сторону:

$\frac{\cos 2x}{3a + \sin 2x} + \frac{\cos 2x}{3a - \sin 2x} = 0$

Вынесем $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x \left(\frac{1}{3a + \sin 2x} + \frac{1}{3a - \sin 2x}\right) = 0$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\cos 2x \left(\frac{3a - \sin 2x + 3a + \sin 2x}{(3a + \sin 2x)(3a - \sin 2x)}\right) = 0$

$\cos 2x \left(\frac{6a}{9a^2 - \sin^2 2x}\right) = 0$

Это равенство должно выполняться для всех $x$ из области определения функции. Так как $\cos 2x$ не равен нулю для всех $x$, то для выполнения тождества необходимо, чтобы множитель при нем был равен нулю. Знаменатель $9a^2 - \sin^2 2x$ не может быть равен нулю по определению области определения функции. Следовательно, числитель должен быть равен нулю:

$6a = 0$

Отсюда получаем $a = 0$.

Проверим это значение. Если $a = 0$, то функция принимает вид $f(x) = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x$. Известно, что наименьший положительный период функции $\cot(\omega x)$ равен $\frac{\pi}{|\omega|}$. В данном случае $\omega = 2$, и период равен $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, при $a=0$ число $\frac{\pi}{2}$ действительно является периодом функции.

Ответ: $a=0$.