Номер 20.14, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.14. При каких значениях параметра $a$ число $\pi$ является периодом функции $f(x) = \frac{\sin x}{a - \cos x}$?

Для того чтобы число $\pi$ было периодом функции $f(x) = \frac{\sin x}{a - \cos x}$, необходимо, чтобы для любого $x$ из области определения функции $D(f)$ выполнялось равенство $f(x + \pi) = f(x)$.

Область определения функции $D(f)$ задается условием $a - \cos x \neq 0$, то есть $\cos x \neq a$.

Для выполнения условия периодичности, область определения должна быть инвариантна относительно сдвига на период $T=\pi$. Это означает, что если $x \in D(f)$, то и $x+\pi \in D(f)$. Условие $x+\pi \in D(f)$ означает $a - \cos(x+\pi) \neq 0$. Так как $\cos(x+\pi) = -\cos x$, получаем $a - (-\cos x) \neq 0$, или $a+\cos x \neq 0$, то есть $\cos x \neq -a$. Таким образом, тождество $f(x + \pi) = f(x)$ должно выполняться для всех $x$, для которых $\cos x \neq a$ и $\cos x \neq -a$.

Составим уравнение, исходя из условия периодичности $f(x + \pi) = f(x)$:

$\frac{\sin(x + \pi)}{a - \cos(x + \pi)} = \frac{\sin x}{a - \cos x}$

Используя формулы приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$ и $\cos(x + \pi) = -\cos x$, преобразуем левую часть уравнения:

$\frac{-\sin x}{a - (-\cos x)} = \frac{-\sin x}{a + \cos x}$

Теперь равенство имеет вид:

$\frac{-\sin x}{a + \cos x} = \frac{\sin x}{a - \cos x}$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sin x}{a - \cos x} + \frac{\sin x}{a + \cos x} = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x \left( \frac{1}{a - \cos x} + \frac{1}{a + \cos x} \right) = 0$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$\sin x \left( \frac{(a + \cos x) + (a - \cos x)}{(a - \cos x)(a + \cos x)} \right) = 0$

$\sin x \left( \frac{2a}{a^2 - \cos^2 x} \right) = 0$

Это равенство должно быть тождеством, то есть выполняться для всех значений $x$ из области определения. Знаменатель $a^2 - \cos^2 x$ не равен нулю в области, где определены $f(x)$ и $f(x+\pi)$. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы числитель был равен нулю:

$2a \sin x = 0$

Данное равенство должно выполняться для всех $x$, для которых функция определена. Рассмотрим два возможных случая для параметра $a$.

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $2 \cdot 0 \cdot \sin x = 0$, или $0 = 0$. Это равенство верно для любого $x$. При $a = 0$ функция имеет вид $f(x) = \frac{\sin x}{-\cos x} = -\tan x$. Известно, что функция тангенс имеет основной период $\pi$. Следовательно, $a = 0$ является решением.

2. Если $a \neq 0$, то для выполнения тождества $2a \sin x = 0$ необходимо, чтобы $\sin x = 0$ для всех $x$ из области определения. Однако это не так. Например, можно выбрать $x = \frac{\pi}{2}$. Для этого значения $x$ необходимо проверить, входит ли оно в область определения. Условие $\cos(\frac{\pi}{2}) \neq a$, то есть $0 \neq a$. Поскольку мы рассматриваем случай $a \neq 0$, точка $x = \frac{\pi}{2}$ принадлежит области определения. Но при $x = \frac{\pi}{2}$ значение $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \neq 0$. Таким образом, равенство $2a \sin x = 0$ не выполняется для всех $x$ из области определения, если $a \neq 0$.

Следовательно, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию, — это $a=0$.

Ответ: $a=0$.