Номер 20.12, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.12. Найдите период функции:

1) $f(x) = \sin \frac{3x}{2} + \operatorname{tg}7x;$

2) $f(x) = \sin 3x + \cos \frac{3x}{4} + \frac{1}{2}\operatorname{tg}\frac{9x}{5};$

3) $f(x) = \sin \pi x - 2\cos \frac{\pi x}{3};$

4) $f(x) = \sin \pi x + \{3x - \frac{1}{2}\}.$

Чтобы найти период функции, которая является суммой или разностью нескольких периодических функций, нужно найти периоды каждой из функций-слагаемых, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Период функции $y = \sin(kx+b)$ или $y=\cos(kx+b)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Период функции $y = \text{tg}(kx+b)$ или $y=\text{ctg}(kx+b)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Период функции $y = \{kx+b\}$ (дробная часть числа) равен $T = \frac{1}{|k|}$.

Для нахождения НОК дробей используется формула: $\text{НОК}(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) = \frac{\text{НОК}(a, c)}{\text{НОД}(b, d)}$.

Дана функция $f(x) = \sin\frac{3x}{2} + \text{tg}7x$.

Найдем период для каждого слагаемого:

Для $f_1(x) = \sin\frac{3x}{2}$, коэффициент $k_1 = \frac{3}{2}$. Период $T_1 = \frac{2\pi}{|k_1|} = \frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3}$.

Для $f_2(x) = \text{tg}7x$, коэффициент $k_2 = 7$. Период $T_2 = \frac{\pi}{|k_2|} = \frac{\pi}{7}$.

Теперь найдем наименьшее общее кратное (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$:

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{4\pi}{3}, \frac{\pi}{7}) = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{4}{3}, \frac{1}{7})$.

Используем формулу для НОК дробей:

$\text{НОК}(\frac{4}{3}, \frac{1}{7}) = \frac{\text{НОК}(4, 1)}{\text{НОД}(3, 7)} = \frac{4}{1} = 4$.

Таким образом, общий период $T = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$

Дана функция $f(x) = \sin3x + \cos\frac{3x}{4} + \frac{1}{2}\text{tg}\frac{9x}{5}$.

Найдем период для каждого слагаемого:

Для $f_1(x) = \sin3x$, $k_1 = 3$. Период $T_1 = \frac{2\pi}{3}$.

Для $f_2(x) = \cos\frac{3x}{4}$, $k_2 = \frac{3}{4}$. Период $T_2 = \frac{2\pi}{3/4} = \frac{8\pi}{3}$.

Для $f_3(x) = \frac{1}{2}\text{tg}\frac{9x}{5}$, $k_3 = \frac{9}{5}$. Период $T_3 = \frac{\pi}{9/5} = \frac{5\pi}{9}$.

Теперь найдем НОК периодов $T_1, T_2$ и $T_3$:

$T = \text{НОК}(\frac{2\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{5\pi}{9}) = \pi \cdot \text{НОК}(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{5}{9})$.

$\text{НОК}(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{5}{9}) = \frac{\text{НОК}(2, 8, 5)}{\text{НОД}(3, 3, 9)} = \frac{40}{3}$.

Таким образом, общий период $T = \frac{40\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{40\pi}{3}$

Дана функция $f(x) = \sin\pi x - 2\cos\frac{\pi x}{3}$.

Найдем период для каждого слагаемого:

Для $f_1(x) = \sin\pi x$, $k_1 = \pi$. Период $T_1 = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.

Для $f_2(x) = -2\cos\frac{\pi x}{3}$, $k_2 = \frac{\pi}{3}$. Период $T_2 = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$.

Теперь найдем НОК периодов $T_1$ и $T_2$:

$T = \text{НОК}(2, 6) = 6$.

Ответ: 6

Дана функция $f(x) = \sin\pi x + \{3x - \frac{1}{2}\}$, где $\{...\}$ обозначает дробную часть числа.

Найдем период для каждого слагаемого:

Для $f_1(x) = \sin\pi x$, $k_1 = \pi$. Период $T_1 = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.

Для $f_2(x) = \{3x - \frac{1}{2}\}$, $k_2 = 3$. Период $T_2 = \frac{1}{|k_2|} = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем НОК периодов $T_1$ и $T_2$:

$T = \text{НОК}(2, \frac{1}{3}) = \text{НОК}(\frac{2}{1}, \frac{1}{3})$.

$\text{НОК}(\frac{2}{1}, \frac{1}{3}) = \frac{\text{НОК}(2, 1)}{\text{НОД}(1, 3)} = \frac{2}{1} = 2$.

Таким образом, общий период $T = 2$.

Ответ: 2