Номер 20.11, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.11. Докажите, что если функция является возрастающей (убывающей), то она не является периодической.

Для доказательства используем метод от противного. Рассмотрим два случая, упомянутых в условии задачи.

Возрастающая функция

Предположим, что существует функция $f(x)$, которая является одновременно и возрастающей, и периодической.

По определению периодической функции, существует такое число $T \ne 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Без ограничения общности будем считать, что $T > 0$. (Если $T < 0$ — период, то и $-T > 0$ также является периодом).

По определению возрастающей функции, для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Возьмем произвольное значение $x$ из области определения функции. Рассмотрим две точки: $x$ и $x+T$. Так как мы выбрали $T > 0$, то справедливо неравенство $x < x+T$.

Поскольку функция $f(x)$ является возрастающей, из $x < x+T$ следует, что $f(x) < f(x+T)$.

Однако, поскольку функция $f(x)$ является периодической, для этих же точек должно выполняться равенство $f(x) = f(x+T)$.

Мы получили противоречие: $f(x) < f(x+T)$ и $f(x) = f(x+T)$ не могут выполняться одновременно. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и возрастающая функция не может быть периодической.

Убывающая функция

Аналогично докажем утверждение для убывающей функции. Предположим, что существует функция $f(x)$, которая является одновременно и убывающей, и периодической.

Из определения периодичности следует, что существует период $T > 0$, для которого $f(x+T) = f(x)$ для любого $x$ из области определения.

По определению убывающей функции, для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Рассмотрим точки $x$ и $x+T$. Так как $T > 0$, то $x < x+T$.

Поскольку $f(x)$ является убывающей, из $x < x+T$ следует, что $f(x) > f(x+T)$.

Но из свойства периодичности мы имеем $f(x) = f(x+T)$.

Мы снова пришли к противоречию: $f(x) > f(x+T)$ и $f(x) = f(x+T)$ не могут выполняться одновременно. Следовательно, наше предположение неверно, и убывающая функция не может быть периодической.

Таким образом, доказано, что если функция является возрастающей или убывающей, она не является периодической.

Ответ: Утверждение доказано.