Номер 20.17, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.17. Найдите все рациональные значения параметра $a$, при которых функции $f(x) = \sin \frac{2ax}{a^2 + \sqrt{12}}$ и $g(x) = \operatorname{tg} \frac{2x}{1 - 2a + \sqrt{108}}$ имеют общий период.

Для того чтобы две периодические функции имели общий период, необходимо и достаточно, чтобы отношение их наименьших положительных периодов было рациональным числом.

Найдем наименьший положительный период функции $f(x) = \sin\frac{2ax}{a^2 + \sqrt{12}}$.

Наименьший положительный период функции $y = \sin(kx+b)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k_f = \frac{2a}{a^2 + \sqrt{12}}$. Период $T_f$ существует при $a \ne 0$.

$T_f = \frac{2\pi}{\left|\frac{2a}{a^2 + \sqrt{12}}\right|} = \frac{2\pi |a^2 + \sqrt{12}|}{|2a|}$.

По условию $a$ - рациональное число, поэтому $a^2 \ge 0$. Следовательно, $a^2 + \sqrt{12} > 0$, и $|a^2 + \sqrt{12}| = a^2 + \sqrt{12}$. Упростив $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, получаем:

$T_f = \frac{2\pi (a^2 + 2\sqrt{3})}{2|a|} = \frac{\pi(a^2 + 2\sqrt{3})}{|a|}$.

Найдем наименьший положительный период функции $g(x) = \tg\frac{2x}{1 - 2a + \sqrt{108}}$.

Наименьший положительный период функции $y = \tg(kx+b)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k_g = \frac{2}{1 - 2a + \sqrt{108}}$. Период $T_g$ существует, так как $k_g \ne 0$ (знаменатель не может быть равен 0 для рационального $a$). Упростив $\sqrt{108} = 6\sqrt{3}$, получаем:

$T_g = \frac{\pi}{\left|\frac{2}{1 - 2a + 6\sqrt{3}}\right|} = \frac{\pi |1 - 2a + 6\sqrt{3}|}{2}$.

Условие существования общего периода: отношение $\frac{T_f}{T_g}$ должно быть рациональным числом. Обозначим это число через $r$, где $r \in \mathbb{Q}$ и $r > 0$.

$\frac{T_f}{T_g} = \frac{\frac{\pi(a^2 + 2\sqrt{3})}{|a|}}{\frac{\pi |1 - 2a + 6\sqrt{3}|}{2}} = \frac{2(a^2 + 2\sqrt{3})}{|a| \cdot |1 - 2a + 6\sqrt{3}|} = r$.

Перепишем это уравнение:

$2(a^2 + 2\sqrt{3}) = r \cdot |a| \cdot |1 - 2a + 6\sqrt{3}|$,

$2a^2 + 4\sqrt{3} = r|a| |(1 - 2a) + 6\sqrt{3}|$.

Поскольку $a$ - рациональное число, $1-2a$ также рационально. Обозначим $R = r|a|$. Так как $r \in \mathbb{Q}, r > 0$ и $a \in \mathbb{Q}, a \ne 0$, то $R$ является положительным рациональным числом. Уравнение принимает вид:

$2a^2 + 4\sqrt{3} = R |(1 - 2a) + 6\sqrt{3}|$.

Выражение $(1 - 2a) + 6\sqrt{3}$ не может быть равно нулю для рационального $a$. Рассмотрим два случая в зависимости от его знака.

Случай 1: $1 - 2a + 6\sqrt{3} > 0$.

Тогда $|1 - 2a + 6\sqrt{3}| = 1 - 2a + 6\sqrt{3}$. Уравнение принимает вид:

$2a^2 + 4\sqrt{3} = R(1 - 2a + 6\sqrt{3}) = R(1 - 2a) + 6R\sqrt{3}$.

В левой и правой частях этого равенства стоят числа вида $A+B\sqrt{3}$, где $A$ и $B$ - рациональные числа. Такое равенство возможно тогда и только тогда, когда равны их рациональные и иррациональные части (коэффициенты при $\sqrt{3}$).

Приравниваем рациональные части: $2a^2 = R(1-2a)$.

Приравниваем коэффициенты при $\sqrt{3}$: $4 = 6R$.

Из второго уравнения находим $R = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Это значение удовлетворяет условию $R>0$.

Подставляем $R = \frac{2}{3}$ в первое уравнение:

$2a^2 = \frac{2}{3}(1-2a)$

$a^2 = \frac{1}{3}(1-2a)$

$3a^2 = 1 - 2a \implies 3a^2 + 2a - 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение относительно $a$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$a_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 4}{6}$.

$a_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$a_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Оба найденных значения $a$ являются рациональными. Проверим для них исходное предположение $1 - 2a + 6\sqrt{3} > 0$:

При $a = 1/3$: $1 - 2(1/3) + 6\sqrt{3} = 1/3 + 6\sqrt{3} > 0$. Предположение верно.

При $a = -1$: $1 - 2(-1) + 6\sqrt{3} = 3 + 6\sqrt{3} > 0$. Предположение верно.

Следовательно, $a=1/3$ и $a=-1$ являются решениями задачи.

Случай 2: $1 - 2a + 6\sqrt{3} < 0$.

Тогда $|1 - 2a + 6\sqrt{3}| = -(1 - 2a + 6\sqrt{3}) = 2a - 1 - 6\sqrt{3}$. Уравнение принимает вид:

$2a^2 + 4\sqrt{3} = R(2a - 1 - 6\sqrt{3}) = R(2a - 1) - 6R\sqrt{3}$.

Приравнивая коэффициенты при $\sqrt{3}$, получаем: $4 = -6R$, откуда $R = -\frac{2}{3}$.

Это противоречит условию $R > 0$ (так как $R = r|a|$ и $r>0, |a|>0$). Следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, единственными подходящими значениями параметра $a$ являются $1/3$ и $-1$.

Ответ: $a = \frac{1}{3}; a = -1$.