Номер 20.3, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.3. Докажите, что число $T$ является периодом функции $f$:

1) $f(x) = \text{ctg} \pi x, T = 3;$

2) $f(x) = \sin(5x - 2), T = \frac{4\pi}{5}.$

1)

Чтобы доказать, что число $T=3$ является периодом функции $f(x) = \text{ctg}(\pi x)$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняются два условия:
1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Область определения функции $f(x) = \text{ctg}(\pi x)$ — это все действительные числа $x$, для которых аргумент котангенса не равен $k\pi$, где $k$ — любое целое число.
$\pi x \neq k\pi \implies x \neq k$.
Таким образом, область определения $D(f)$ — это все действительные числа, кроме целых.

Если $x \in D(f)$, то $x$ не является целым числом. Тогда $x+3$ и $x-3$ также не являются целыми числами, а значит, они принадлежат области определения функции. Первое условие выполнено.

Проверим второе условие. Найдем $f(x+T)$:
$f(x+T) = f(x+3) = \text{ctg}(\pi(x+3)) = \text{ctg}(\pi x + 3\pi)$.

Основной период функции $y = \text{ctg}(x)$ равен $\pi$. Это означает, что $\text{ctg}(z + n\pi) = \text{ctg}(z)$ для любого целого числа $n$. В нашем случае $z = \pi x$, а $n=3$, что является целым числом.

Следовательно:
$\text{ctg}(\pi x + 3\pi) = \text{ctg}(\pi x) = f(x)$.

Мы показали, что $f(x+3) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции. Таким образом, $T=3$ является периодом функции.

Ответ: Число $T=3$ является периодом функции $f(x) = \text{ctg}(\pi x)$, что и требовалось доказать.

2)

Чтобы доказать, что число $T=\frac{4\pi}{5}$ является периодом функции $f(x) = \sin(5x-2)$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняются условия:
1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Область определения функции $f(x) = \sin(5x-2)$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, так как функция синус определена для любого действительного аргумента. Если $x \in \mathbb{R}$, то и $x + \frac{4\pi}{5}$ также принадлежит $\mathbb{R}$. Первое условие выполнено.

Проверим второе условие. Найдем $f(x+T)$:
$f(x+T) = f(x+\frac{4\pi}{5}) = \sin(5(x+\frac{4\pi}{5}) - 2)$.

Упростим выражение в аргументе синуса:
$5(x+\frac{4\pi}{5}) - 2 = 5x + 5 \cdot \frac{4\pi}{5} - 2 = 5x + 4\pi - 2$.

Таким образом, получаем:
$f(x+\frac{4\pi}{5}) = \sin((5x-2) + 4\pi)$.

Основной период функции $y = \sin(x)$ равен $2\pi$. Это означает, что $\sin(z + 2n\pi) = \sin(z)$ для любого целого числа $n$. В нашем случае $z = 5x-2$, а $4\pi = 2 \cdot 2\pi$, то есть $n=2$, что является целым числом.

Следовательно:
$\sin((5x-2) + 4\pi) = \sin(5x-2) = f(x)$.

Мы показали, что $f(x+\frac{4\pi}{5}) = f(x)$ для всех $x$. Таким образом, $T=\frac{4\pi}{5}$ является периодом функции.

Ответ: Число $T=\frac{4\pi}{5}$ является периодом функции $f(x) = \sin(5x-2)$, что и требовалось доказать.