Номер 20.1, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.1. Найдите значение выражения:

1) $ \text{tg } 780^\circ $;

2) $ \cos (-750^\circ) $;

3) $ \text{ctg } 225^\circ $;

4) $ \sin \frac{23\pi}{4} $;

5) $ \cos \frac{7\pi}{4} $.

1) tg 780°

Для нахождения значения тангенса воспользуемся его периодичностью. Период тангенса равен $180^\circ$, а также $360^\circ$ (так как $360^\circ = 2 \cdot 180^\circ$). Представим угол $780^\circ$ в виде суммы целого числа полных оборотов ($n \cdot 360^\circ$) и угла в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$.

$780^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 60^\circ$.

Используя свойство периодичности $tg(\alpha + 360^\circ \cdot n) = tg(\alpha)$, получаем:

$tg(780^\circ) = tg(2 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = tg(60^\circ)$.

Значение $tg(60^\circ)$ является табличным и равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

2) cos(-750°)

Функция косинус является четной, то есть для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

Следовательно, $cos(-750^\circ) = cos(750^\circ)$.

Далее воспользуемся периодичностью функции косинус, период которой равен $360^\circ$. Представим угол $750^\circ$ в виде суммы целого числа полных оборотов и остатка:

$750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ$.

Используя свойство периодичности $cos(\alpha + 360^\circ \cdot n) = cos(\alpha)$, получаем:

$cos(750^\circ) = cos(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = cos(30^\circ)$.

Значение $cos(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) ctg 225°

Для нахождения значения котангенса воспользуемся формулами приведения. Угол $225^\circ$ находится в третьей координатной четверти. Его можно представить в виде суммы $180^\circ + 45^\circ$.

Формула приведения для котангенса имеет вид: $ctg(180^\circ + \alpha) = ctg(\alpha)$.

Применим эту формулу:

$ctg(225^\circ) = ctg(180^\circ + 45^\circ) = ctg(45^\circ)$.

Значение $ctg(45^\circ)$ является табличным и равно $1$.

Ответ: $1$

4) sin $\frac{23\pi}{4}$

Для нахождения значения синуса воспользуемся его периодичностью. Период синуса равен $2\pi$. Выделим из аргумента $\frac{23\pi}{4}$ целое число периодов.

$\frac{23\pi}{4} = \frac{16\pi + 7\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = 4\pi + \frac{7\pi}{4} = 2 \cdot 2\pi + \frac{7\pi}{4}$.

Используя свойство периодичности $sin(\alpha + 2\pi \cdot n) = sin(\alpha)$, получаем:

$sin(\frac{23\pi}{4}) = sin(2 \cdot 2\pi + \frac{7\pi}{4}) = sin(\frac{7\pi}{4})$.

Теперь используем формулу приведения. Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвертой четверти. Его можно представить как $2\pi - \frac{\pi}{4}$.

$sin(\frac{7\pi}{4}) = sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение $sin(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $sin(\frac{23\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

5) cos $\frac{7\pi}{4}$

Для нахождения значения косинуса воспользуемся формулами приведения. Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвертой координатной четверти. Его можно представить в виде разности $2\pi - \frac{\pi}{4}$.

Формула приведения для косинуса имеет вид: $cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$.

Применяя эту формулу, получаем:

$cos(\frac{7\pi}{4}) = cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4})$.

Значение $cos(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$