Страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют периодической?

2. Что такое период функции?

3. Что называют главным периодом функции?

4. Какое число является главным периодом функции $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \operatorname{tg} x$, $y = \operatorname{ctg} x$?

1. Какую функцию называют периодической?
Функцию $y=f(x)$ называют периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого значения $x$ из области определения функции числа $(x+T)$ и $(x-T)$ также принадлежат области определения и при этом выполняется равенство $f(x+T)=f(x)$. Это означает, что значения функции регулярно повторяются через определенный интервал по оси абсцисс.
Ответ: Периодической называют функцию, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого ненулевого числа $T$, то есть $f(x+T) = f(x)$.

2. Что такое период функции?
Число $T$ из определения периодической функции называется периодом функции. Важно отметить, что если у функции есть период $T$, то числа $2T, 3T, -T, -2T$ и, в общем виде, любое число вида $nT$ (где $n$ — любое целое число, не равное нулю) также являются её периодами. Таким образом, любая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов.
Ответ: Период функции — это ненулевое число $T$, при прибавлении которого к любому значению аргумента $x$ из области определения функции значение функции не меняется.

3. Что называют главным периодом функции?
Среди всех положительных периодов функции (если они существуют) часто можно выделить наименьший. Этот наименьший положительный период и называют главным (или основным) периодом функции. Все остальные периоды функции являются целыми кратными её главного периода.
Ответ: Главным периодом функции называют её наименьший положительный период.

4. Какое число является главным периодом функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x?
Для основных тригонометрических функций установлены следующие главные периоды:

• Для функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$ главным периодом является число $2\pi$.
• Для функций $y=\operatorname{tg} x$ и $y=\operatorname{ctg} x$ главным периодом является число $\pi$.

Ответ: Главный период для $y = \sin x$ и $y = \cos x$ равен $2\pi$; для $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ главный период равен $\pi$.

20.1. Найдите значение выражения:

1) $ \text{tg } 780^\circ $;

2) $ \cos (-750^\circ) $;

3) $ \text{ctg } 225^\circ $;

4) $ \sin \frac{23\pi}{4} $;

5) $ \cos \frac{7\pi}{4} $.

1) tg 780°

Для нахождения значения тангенса воспользуемся его периодичностью. Период тангенса равен $180^\circ$, а также $360^\circ$ (так как $360^\circ = 2 \cdot 180^\circ$). Представим угол $780^\circ$ в виде суммы целого числа полных оборотов ($n \cdot 360^\circ$) и угла в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$.

$780^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 60^\circ$.

Используя свойство периодичности $tg(\alpha + 360^\circ \cdot n) = tg(\alpha)$, получаем:

$tg(780^\circ) = tg(2 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = tg(60^\circ)$.

Значение $tg(60^\circ)$ является табличным и равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

2) cos(-750°)

Функция косинус является четной, то есть для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

Следовательно, $cos(-750^\circ) = cos(750^\circ)$.

Далее воспользуемся периодичностью функции косинус, период которой равен $360^\circ$. Представим угол $750^\circ$ в виде суммы целого числа полных оборотов и остатка:

$750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ$.

Используя свойство периодичности $cos(\alpha + 360^\circ \cdot n) = cos(\alpha)$, получаем:

$cos(750^\circ) = cos(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = cos(30^\circ)$.

Значение $cos(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) ctg 225°

Для нахождения значения котангенса воспользуемся формулами приведения. Угол $225^\circ$ находится в третьей координатной четверти. Его можно представить в виде суммы $180^\circ + 45^\circ$.

Формула приведения для котангенса имеет вид: $ctg(180^\circ + \alpha) = ctg(\alpha)$.

Применим эту формулу:

$ctg(225^\circ) = ctg(180^\circ + 45^\circ) = ctg(45^\circ)$.

Значение $ctg(45^\circ)$ является табличным и равно $1$.

Ответ: $1$

4) sin $\frac{23\pi}{4}$

Для нахождения значения синуса воспользуемся его периодичностью. Период синуса равен $2\pi$. Выделим из аргумента $\frac{23\pi}{4}$ целое число периодов.

$\frac{23\pi}{4} = \frac{16\pi + 7\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = 4\pi + \frac{7\pi}{4} = 2 \cdot 2\pi + \frac{7\pi}{4}$.

Используя свойство периодичности $sin(\alpha + 2\pi \cdot n) = sin(\alpha)$, получаем:

$sin(\frac{23\pi}{4}) = sin(2 \cdot 2\pi + \frac{7\pi}{4}) = sin(\frac{7\pi}{4})$.

Теперь используем формулу приведения. Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвертой четверти. Его можно представить как $2\pi - \frac{\pi}{4}$.

$sin(\frac{7\pi}{4}) = sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение $sin(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $sin(\frac{23\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

5) cos $\frac{7\pi}{4}$

Для нахождения значения косинуса воспользуемся формулами приведения. Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвертой координатной четверти. Его можно представить в виде разности $2\pi - \frac{\pi}{4}$.

Формула приведения для косинуса имеет вид: $cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$.

Применяя эту формулу, получаем:

$cos(\frac{7\pi}{4}) = cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4})$.

Значение $cos(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$