Страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

? 1. Что называют косинусом угла поворота; синусом угла поворота; тангенсом угла поворота; котангенсом угла поворота?

2. Поясните, что называют тригонометрическими функциями угла поворота; числового аргумента.

3. Какова область определения функции $y = \sin x$; $y = \cos x$; $y = \operatorname{tg} x$; $y = \operatorname{ctg} x$?

4. Какова область значений функции $y = \sin x$; $y = \cos x$; $y = \operatorname{tg} x$; $y = \operatorname{ctg} x$?

Рассмотрим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице (такую окружность называют единичной). Начальная точка $P_0$ расположена на окружности и имеет координаты $(1, 0)$. При повороте точки $P_0$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат мы получаем точку $P_{\alpha}(x, y)$.

• Косинусом угла поворота $\alpha$ (обозначается $\cos \alpha$) называют абсциссу (координату $x$) точки $P_{\alpha}$, полученной в результате поворота начальной точки на угол $\alpha$. Таким образом, $\cos \alpha = x$.
• Синусом угла поворота $\alpha$ (обозначается $\sin \alpha$) называют ординату (координату $y$) точки $P_{\alpha}$. Таким образом, $\sin \alpha = y$.
• Тангенсом угла поворота $\alpha$ (обозначается $\operatorname{tg} \alpha$) называют отношение синуса угла $\alpha$ к его косинусу. Формула: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$. Тангенс определён для всех углов, для которых $\cos \alpha \neq 0$.
• Котангенсом угла поворота $\alpha$ (обозначается $\operatorname{ctg} \alpha$) называют отношение косинуса угла $\alpha$ к его синусу. Формула: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y}$. Котангенс определён для всех углов, для которых $\sin \alpha \neq 0$.

Ответ: Косинус и синус угла поворота — это абсцисса и ордината точки на единичной окружности, полученной поворотом точки (1, 0) на этот угол. Тангенс — это отношение синуса к косинусу, а котангенс — отношение косинуса к синусу.

Тригонометрическими функциями угла поворота называют функции, которые устанавливают зависимость между величиной угла поворота $\alpha$ и значениями его синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Каждому допустимому значению угла $\alpha$ эти функции ставят в соответствие единственное числовое значение (например, $y = \sin \alpha$).

Тригонометрическими функциями числового аргумента называют функции, в которых аргументом является не угол, а действительное число. Связь устанавливается через радианную меру угла: любому действительному числу $x$ можно поставить в соответствие угол, радианная мера которого равна $x$. Значение тригонометрической функции от числового аргумента $x$ равно значению этой же функции от угла в $x$ радиан. Например, функция $y = \cos x$ каждому действительному числу $x$ ставит в соответствие косинус угла, равного $x$ радиан. Это позволяет рассматривать тригонометрические зависимости как функции, определённые на множестве действительных чисел, и исследовать их свойства (строить графики, находить производные и т.д.).

Ответ: Тригонометрические функции угла поворота — это зависимости, сопоставляющие углу значения его синуса, косинуса и т.д. Тригонометрические функции числового аргумента — это те же функции, но их аргументом является действительное число, которое рассматривается как радианная мера соответствующего угла.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена (т.е. её значение можно вычислить).

• Для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ область определения — это множество всех действительных чисел, так как для любого действительного числа $x$ можно найти точку на единичной окружности, повернув начальную точку на угол в $x$ радиан, и определить её координаты. Обозначение: $D(f) = \mathbb{R}$ или $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Для функции $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ она не определена в точках, где знаменатель $\cos x$ равен нулю. Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Таким образом, область определения тангенса — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Для функции $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ она не определена в точках, где знаменатель $\sin x$ равен нулю. Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, область определения котангенса — все действительные числа, кроме $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
$y = \sin x$: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
$y = \cos x$: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
$y = \operatorname{tg} x$: все $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$y = \operatorname{ctg} x$: все $x$, кроме $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция при всех допустимых значениях аргумента.

• Для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$, их значения являются координатами точек на единичной окружности. Так как радиус окружности равен 1, ни абсцисса, ни ордината точки не могут по модулю превышать 1. Таким образом, значения синуса и косинуса лежат в пределах от -1 до 1 включительно. Область значений: $E(f) = [-1; 1]$.
• Для функции $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, когда угол $x$ приближается к значениям, где $\cos x = 0$ (например, к $\frac{\pi}{2}$), знаменатель дроби стремится к нулю, а числитель — к 1 или -1. В результате значение дроби может быть сколь угодно большим положительным или отрицательным числом. Таким образом, тангенс может принимать любое действительное значение. Область значений: $E(f) = \mathbb{R}$ или $(-\infty; +\infty)$.
• Аналогично для функции $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Когда угол $x$ приближается к значениям, где $\sin x = 0$ (например, к 0 или $\pi$), знаменатель стремится к нулю, и значение котангенса также может быть любым действительным числом. Область значений: $E(f) = \mathbb{R}$ или $(-\infty; +\infty)$.

Ответ:
$y = \sin x$: $E(f) = [-1; 1]$.
$y = \cos x$: $E(f) = [-1; 1]$.
$y = \operatorname{tg} x$: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
$y = \operatorname{ctg} x$: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

18.1. Вычислите значение выражения:

1) $ \sin 0 + \tan \pi - \sin \frac{3\pi}{2} $;

2) $ 5\cos \pi + 4\cos \frac{3\pi}{2} + 2\cos 2\pi $;

3) $ 2\sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6} $;

4) $ \sin \frac{\pi}{3} \tan^2 \frac{\pi}{6} \cot \frac{\pi}{6} $.

1) $ \sin 0 + \tg \pi - \sin \frac{3\pi}{2} $

Для решения данного выражения найдем значения каждой тригонометрической функции, используя единичную окружность или таблицы значений:

$ \sin 0 = 0 $

$ \tg \pi = \frac{\sin \pi}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0 $

$ \sin \frac{3\pi}{2} = -1 $

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \sin 0 + \tg \pi - \sin \frac{3\pi}{2} = 0 + 0 - (-1) = 0 + 1 = 1 $

Ответ: $1$

2) $ 5\cos \pi + 4\cos \frac{3\pi}{2} + 2\cos 2\pi $

Найдем значения косинусов для каждого из углов:

$ \cos \pi = -1 $

$ \cos \frac{3\pi}{2} = 0 $

$ \cos 2\pi = \cos 0 = 1 $

Теперь подставим эти значения в выражение и вычислим:

$ 5\cos \pi + 4\cos \frac{3\pi}{2} + 2\cos 2\pi = 5 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = -5 + 0 + 2 = -3 $

Ответ: $-3$

3) $ 2\sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6} $

Сначала найдем значения синуса и косинуса, а затем возведем их в квадрат:

$ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, следовательно $ \sin^2 \frac{\pi}{4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, следовательно $ \cos^2 \frac{\pi}{6} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} $

Подставим полученные значения в выражение:

$ 2\sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} $

Ответ: $\frac{7}{4}$

4) $ \sin \frac{\pi}{3} \tg^2 \frac{\pi}{6} \ctg \frac{\pi}{6} $

Заметим, что $ \tg x \cdot \ctg x = 1 $. Используя это свойство, можно упростить часть выражения: $ \tg^2 \frac{\pi}{6} \cdot \ctg \frac{\pi}{6} = \tg \frac{\pi}{6} \cdot \left(\tg \frac{\pi}{6} \cdot \ctg \frac{\pi}{6}\right) = \tg \frac{\pi}{6} \cdot 1 = \tg \frac{\pi}{6} $. Таким образом, исходное выражение можно упростить до $ \sin \frac{\pi}{3} \tg \frac{\pi}{6} $.

Теперь найдем значения оставшихся функций:

$ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Перемножим полученные значения:

$ \sin \frac{\pi}{3} \tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{(\sqrt{3})^2}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

Ответ: $\frac{1}{2}$

18.2. Чему равно значение выражения:

1) $ \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3}; $

2) $ 6 \cos 0 + 4 \sin 2\pi + 4 \sin^2 \frac{2\pi}{3}? $

1) Чтобы найти значение выражения $ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{3} $, нужно знать значения тригонометрических функций для табличных углов.
Известно, что:
$ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $
Теперь подставим эти значения в выражение и вычислим произведение:
$ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}\text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} $
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{6} $

2) Чтобы найти значение выражения $ 6\cos 0 + 4\sin 2\pi + 4\sin^2\frac{2\pi}{3} $, также воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.
Известно, что:
$ \cos 0 = 1 $
$ \sin 2\pi = 0 $
$ \sin\frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Тогда $ \sin^2\frac{2\pi}{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$ 6\cos 0 + 4\sin 2\pi + 4\sin^2\frac{2\pi}{3} = 6 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 6 + 0 + 3 = 9 $
Ответ: 9

18.3. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4};$

2) $\cos \alpha = \frac{\pi}{3};$

3) $\operatorname{tg} \alpha = -4;$

4) $\operatorname{ctg} \alpha = \sqrt{26}?$

1) Область значений функции синус — это промежуток $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство $-1 \le \sin \alpha \le 1$.
Проверим, принадлежит ли значение $-\frac{\sqrt{15}}{4}$ этому промежутку. Для этого сравним его модуль с 1.
$|-\frac{\sqrt{15}}{4}| = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Чтобы сравнить $\frac{\sqrt{15}}{4}$ и 1, сравним их квадраты: $(\frac{\sqrt{15}}{4})^2 = \frac{15}{16}$.
Так как $\frac{15}{16} < 1$, то и $\frac{\sqrt{15}}{4} < 1$.
Следовательно, $-1 < -\frac{\sqrt{15}}{4} < 1$, и значение входит в область допустимых значений синуса. Такое равенство возможно.
Ответ: Да, возможно.

2) Область значений функции косинус, так же как и синуса, — это промежуток $[-1, 1]$. Для любого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство $-1 \le \cos \alpha \le 1$.
Проверим, принадлежит ли значение $\frac{\pi}{3}$ этому промежутку.
Известно, что $\pi \approx 3,14159...$
Следовательно, $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14159}{3} \approx 1,047$.
Поскольку $1,047 > 1$, значение $\frac{\pi}{3}$ не принадлежит промежутку $[-1, 1]$. Такое равенство невозможно.
Ответ: Нет, невозможно.

3) Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $E(\tg) = (-\infty; +\infty)$.
Число -4 является действительным числом, а значит, входит в область значений тангенса. Следовательно, существует такой угол $\alpha$, для которого $\tg \alpha = -4$.
Ответ: Да, возможно.

4) Область значений функции котангенс, как и у тангенса, — это множество всех действительных чисел, то есть $E(\text{ctg}) = (-\infty; +\infty)$.
Число $\sqrt{26}$ является действительным числом (так как $26 > 0$), а значит, входит в область значений котангенса. Следовательно, существует такой угол $\alpha$, для которого $\text{ctg } \alpha = \sqrt{26}$.
Ответ: Да, возможно.

18.4. Может ли быть равным числу $\frac{\sqrt{5}}{2}$ значение:

1) $\sin \alpha$;

2) $\cos \alpha$;

3) $\operatorname{tg} \alpha$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha$?

Для решения этой задачи необходимо сравнить число $\frac{\sqrt{5}}{2}$ с областями значений тригонометрических функций.

Сначала оценим значение числа. Так как $4 < 5 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что равносильно $2 < \sqrt{5} < 3$.

Разделив все части неравенства на 2, получим: $\frac{2}{2} < \frac{\sqrt{5}}{2} < \frac{3}{2}$, или $1 < \frac{\sqrt{5}}{2} < 1.5$.

Таким образом, число $\frac{\sqrt{5}}{2}$ больше 1.

1) sin α

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ выполняется неравенство $-1 \le \sin \alpha \le 1$. Поскольку мы установили, что $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$, это значение не может быть синусом какого-либо угла.

Ответ: нет, не может.

2) cos α

Область значений функции косинус, как и у синуса, — это отрезок $[-1, 1]$. Для любого угла $\alpha$ выполняется неравенство $-1 \le \cos \alpha \le 1$. Так как $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$, это значение не может быть косинусом какого-либо угла.

Ответ: нет, не может.

3) tg α

Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$. Любое действительное число может быть значением тангенса некоторого угла. Число $\frac{\sqrt{5}}{2}$ является действительным числом, следовательно, существует такой угол $\alpha$, что $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: да, может.

4) ctg α

Область значений функции котангенс также является множеством всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$. Любое действительное число может быть значением котангенса некоторого угла. Число $\frac{\sqrt{5}}{2}$ является действительным числом, следовательно, существует такой угол $\alpha$, что $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: да, может.

18.5. Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ 2 - \sin \alpha $;

2) $ 6 - 2\cos \alpha $;

3) $ \sin^2 \alpha $;

4) $ 2\cos^2 \alpha - 3 $.

1) $2 - \sin\alpha$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения воспользуемся тем, что область значений функции синус ограничена промежутком [-1, 1], то есть $-1 \le \sin\alpha \le 1$.

Сначала умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot 1 \le -1 \cdot \sin\alpha \le -1 \cdot (-1)$
$-1 \le -\sin\alpha \le 1$.

Теперь прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$2 - 1 \le 2 - \sin\alpha \le 2 + 1$
$1 \le 2 - \sin\alpha \le 3$.

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 1, а наибольшее равно 3.

Ответ: Наибольшее значение: 3; наименьшее значение: 1.

2) $6 - 2\cos\alpha$

Область значений функции косинус также ограничена промежутком [-1, 1]: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Умножим неравенство на 2:
$-2 \le 2\cos\alpha \le 2$.

Умножим на -1, не забыв изменить знаки неравенства:
$-1 \cdot 2 \le -2\cos\alpha \le -1 \cdot (-2)$
$-2 \le -2\cos\alpha \le 2$.

Прибавим 6 ко всем частям:
$6 - 2 \le 6 - 2\cos\alpha \le 6 + 2$
$4 \le 6 - 2\cos\alpha \le 8$.

Следовательно, наименьшее значение выражения равно 4, а наибольшее равно 8.

Ответ: Наибольшее значение: 8; наименьшее значение: 4.

3) $\sin^2\alpha$

Поскольку $-1 \le \sin\alpha \le 1$, при возведении в квадрат любого числа из этого промежутка результат будет неотрицательным.

Наименьшее значение выражения достигается, когда $\sin\alpha = 0$, тогда $\sin^2\alpha = 0^2 = 0$.

Наибольшее значение выражения достигается, когда $\sin\alpha = 1$ или $\sin\alpha = -1$, тогда $\sin^2\alpha = (\pm 1)^2 = 1$.

Таким образом, область значений выражения: $0 \le \sin^2\alpha \le 1$.

Ответ: Наибольшее значение: 1; наименьшее значение: 0.

4) $2\cos^2\alpha - 3$

Аналогично предыдущему пункту, область значений функции $\cos^2\alpha$ — это промежуток [0, 1], то есть $0 \le \cos^2\alpha \le 1$.

Умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot 0 \le 2\cos^2\alpha \le 2 \cdot 1$
$0 \le 2\cos^2\alpha \le 2$.

Теперь вычтем 3 из всех частей неравенства:
$0 - 3 \le 2\cos^2\alpha - 3 \le 2 - 3$
$-3 \le 2\cos^2\alpha - 3 \le -1$.

Следовательно, наименьшее значение выражения равно -3, а наибольшее равно -1.

Ответ: Наибольшее значение: -1; наименьшее значение: -3.