Страница 135 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.21. Упростите:

1) $ \{2\pi n | n \in \mathbf{Z}\} \cup \{\pi + 2\pi n | n \in \mathbf{Z}\}; $

2) $ \{2\pi n | n \in \mathbf{Z}\} \cap \{\pi n | n \in \mathbf{Z}\}; $

3) $ \{\pm \frac{\pi}{2} + \pi n | n \in \mathbf{Z}\}; $

4) $ \{\frac{\pi n}{12} | n \in \mathbf{Z}\} \cap \{\frac{\pi}{3} + \pi n | n \in \mathbf{Z}\}. $

1) Первое множество, $\{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$, представляет собой множество всех четных целых чисел, кратных $\pi$. Например, $... -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, ...$

Второе множество, $\{\pi + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$, можно записать как $\{\pi(1 + 2n) \mid n \in \mathbb{Z}\}$. Поскольку выражение $1 + 2n$ при $n \in \mathbb{Z}$ принимает все нечетные целые значения, это множество представляет собой множество всех нечетных целых чисел, кратных $\pi$. Например, $... -3\pi, -\pi, \pi, 3\pi, ...$

Объединение ($U$) этих двух множеств включает в себя все элементы из обоих множеств, то есть все четные и все нечетные целые числа, кратные $\pi$. Вместе они образуют множество всех целых чисел, кратных $\pi$.

Таким образом, $\{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cup \{\pi + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} = \{\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

Ответ: $\{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$.

2) Первое множество, $\{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$, — это множество всех чисел, кратных $2\pi$ (то есть, всех четных целых чисел, кратных $\pi$).

Второе множество, $\{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$, — это множество всех целых чисел, кратных $\pi$.

Пересечение ($\cap$) этих двух множеств содержит только те элементы, которые принадлежат обоим множествам. Поскольку любое число, кратное $2\pi$, является также и целым числом, кратным $\pi$, первое множество является подмножеством второго. Например, $4\pi$ входит в оба множества, а $3\pi$ входит только во второе.

Следовательно, пересечение этих множеств равно первому (меньшему) множеству.

Ответ: $\{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$.

3) Данное выражение $\{\pm \frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$ является сокращенной записью для объединения двух множеств: $\{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\} \cup \{-\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$.

Рассмотрим первое множество: $\{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$. Его элементами являются, например, $...-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, ...$

Рассмотрим второе множество: $\{-\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$. Его элементами являются, например, $...-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, ...$

Можно заметить, что эти два множества описывают одни и те же числа. Возьмем любой элемент из второго множества, $x = -\frac{\pi}{2} + \pi k$ для некоторого $k \in \mathbb{Z}$. Его можно переписать как $x = \frac{\pi}{2} - \pi + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi(k-1)$. Поскольку $k-1$ также является целым числом, то $x$ принадлежит и первому множеству. Аналогично, любой элемент первого множества принадлежит второму.

Таким образом, эти два множества равны, и их объединение равно любому из них. В качестве упрощенной записи можно выбрать любую из двух форм.

Ответ: $\{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$.

4) Требуется найти пересечение ($\cap$) двух множеств. Элементы, входящие в пересечение, должны принадлежать обоим множествам одновременно. Обозначим такой элемент как $x$.

С одной стороны, $x$ должен иметь вид $x = \frac{\pi n}{12}$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$.

С другой стороны, $x$ должен иметь вид $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$ для некоторого $k \in \mathbb{Z}$.

Приравняем эти два выражения для $x$:

$\frac{\pi n}{12} = \frac{\pi}{3} + \pi k$

Разделим обе части на $\pi$:

$\frac{n}{12} = \frac{1}{3} + k$

Умножим обе части на 12, чтобы выразить $n$:

$n = 12 \cdot (\frac{1}{3} + k) = 4 + 12k$

Это означает, что элемент принадлежит пересечению тогда и только тогда, когда он может быть представлен в виде $\frac{\pi n}{12}$, где $n$ имеет вид $4+12k$ для некоторого целого $k$.

Подставим это выражение для $n$ в формулу для элементов первого множества, чтобы найти вид элементов пересечения:

$x = \frac{\pi (4 + 12k)}{12} = \frac{4\pi + 12\pi k}{12} = \frac{4\pi}{12} + \frac{12\pi k}{12} = \frac{\pi}{3} + \pi k$

Полученное выражение в точности совпадает с выражением для элементов второго множества. Это означает, что второе множество является подмножеством первого, и их пересечение равно второму множеству.

Ответ: $\{\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$.