Вопросы?, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

? 1. Что называют косинусом угла поворота; синусом угла поворота; тангенсом угла поворота; котангенсом угла поворота?

2. Поясните, что называют тригонометрическими функциями угла поворота; числового аргумента.

3. Какова область определения функции $y = \sin x$; $y = \cos x$; $y = \operatorname{tg} x$; $y = \operatorname{ctg} x$?

4. Какова область значений функции $y = \sin x$; $y = \cos x$; $y = \operatorname{tg} x$; $y = \operatorname{ctg} x$?

Рассмотрим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице (такую окружность называют единичной). Начальная точка $P_0$ расположена на окружности и имеет координаты $(1, 0)$. При повороте точки $P_0$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат мы получаем точку $P_{\alpha}(x, y)$.

• Косинусом угла поворота $\alpha$ (обозначается $\cos \alpha$) называют абсциссу (координату $x$) точки $P_{\alpha}$, полученной в результате поворота начальной точки на угол $\alpha$. Таким образом, $\cos \alpha = x$.
• Синусом угла поворота $\alpha$ (обозначается $\sin \alpha$) называют ординату (координату $y$) точки $P_{\alpha}$. Таким образом, $\sin \alpha = y$.
• Тангенсом угла поворота $\alpha$ (обозначается $\operatorname{tg} \alpha$) называют отношение синуса угла $\alpha$ к его косинусу. Формула: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{y}{x}$. Тангенс определён для всех углов, для которых $\cos \alpha \neq 0$.
• Котангенсом угла поворота $\alpha$ (обозначается $\operatorname{ctg} \alpha$) называют отношение косинуса угла $\alpha$ к его синусу. Формула: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y}$. Котангенс определён для всех углов, для которых $\sin \alpha \neq 0$.

Ответ: Косинус и синус угла поворота — это абсцисса и ордината точки на единичной окружности, полученной поворотом точки (1, 0) на этот угол. Тангенс — это отношение синуса к косинусу, а котангенс — отношение косинуса к синусу.

Тригонометрическими функциями угла поворота называют функции, которые устанавливают зависимость между величиной угла поворота $\alpha$ и значениями его синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Каждому допустимому значению угла $\alpha$ эти функции ставят в соответствие единственное числовое значение (например, $y = \sin \alpha$).

Тригонометрическими функциями числового аргумента называют функции, в которых аргументом является не угол, а действительное число. Связь устанавливается через радианную меру угла: любому действительному числу $x$ можно поставить в соответствие угол, радианная мера которого равна $x$. Значение тригонометрической функции от числового аргумента $x$ равно значению этой же функции от угла в $x$ радиан. Например, функция $y = \cos x$ каждому действительному числу $x$ ставит в соответствие косинус угла, равного $x$ радиан. Это позволяет рассматривать тригонометрические зависимости как функции, определённые на множестве действительных чисел, и исследовать их свойства (строить графики, находить производные и т.д.).

Ответ: Тригонометрические функции угла поворота — это зависимости, сопоставляющие углу значения его синуса, косинуса и т.д. Тригонометрические функции числового аргумента — это те же функции, но их аргументом является действительное число, которое рассматривается как радианная мера соответствующего угла.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена (т.е. её значение можно вычислить).

• Для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ область определения — это множество всех действительных чисел, так как для любого действительного числа $x$ можно найти точку на единичной окружности, повернув начальную точку на угол в $x$ радиан, и определить её координаты. Обозначение: $D(f) = \mathbb{R}$ или $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Для функции $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ она не определена в точках, где знаменатель $\cos x$ равен нулю. Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Таким образом, область определения тангенса — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Для функции $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ она не определена в точках, где знаменатель $\sin x$ равен нулю. Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, область определения котангенса — все действительные числа, кроме $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
$y = \sin x$: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
$y = \cos x$: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
$y = \operatorname{tg} x$: все $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$y = \operatorname{ctg} x$: все $x$, кроме $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция при всех допустимых значениях аргумента.

• Для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$, их значения являются координатами точек на единичной окружности. Так как радиус окружности равен 1, ни абсцисса, ни ордината точки не могут по модулю превышать 1. Таким образом, значения синуса и косинуса лежат в пределах от -1 до 1 включительно. Область значений: $E(f) = [-1; 1]$.
• Для функции $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, когда угол $x$ приближается к значениям, где $\cos x = 0$ (например, к $\frac{\pi}{2}$), знаменатель дроби стремится к нулю, а числитель — к 1 или -1. В результате значение дроби может быть сколь угодно большим положительным или отрицательным числом. Таким образом, тангенс может принимать любое действительное значение. Область значений: $E(f) = \mathbb{R}$ или $(-\infty; +\infty)$.
• Аналогично для функции $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Когда угол $x$ приближается к значениям, где $\sin x = 0$ (например, к 0 или $\pi$), знаменатель стремится к нулю, и значение котангенса также может быть любым действительным числом. Область значений: $E(f) = \mathbb{R}$ или $(-\infty; +\infty)$.

Ответ:
$y = \sin x$: $E(f) = [-1; 1]$.
$y = \cos x$: $E(f) = [-1; 1]$.
$y = \operatorname{tg} x$: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
$y = \operatorname{ctg} x$: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.