Номер 19.8, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.8. Сравните:

1) $ \sin 200^{\circ} $ и $ \sin (-250^{\circ}) $;

2) $ \cot 100^{\circ} $ и $ \cot 80^{\circ} $;

3) $ \cos 250^{\circ} $ и $ \cos 290^{\circ} $;

4) $ \cos 6,2 $ и $ \sin 5 $.

1) Для сравнения $\sin 200^{\circ}$ и $\sin(-250^{\circ})$, определим знаки этих выражений. Угол $200^{\circ}$ находится в третьей координатной четверти ($180^{\circ} < 200^{\circ} < 270^{\circ}$), где синус отрицателен. Следовательно, $\sin 200^{\circ} < 0$.
Преобразуем второе выражение, используя периодичность синуса (период $360^{\circ}$): $\sin(-250^{\circ}) = \sin(-250^{\circ} + 360^{\circ}) = \sin(110^{\circ})$. Угол $110^{\circ}$ находится во второй координатной четверти ($90^{\circ} < 110^{\circ} < 180^{\circ}$), где синус положителен. Следовательно, $\sin(-250^{\circ}) > 0$.
Так как любое отрицательное число меньше любого положительного, получаем, что $\sin 200^{\circ} < \sin(-250^{\circ})$.
Ответ: $\sin 200^{\circ} < \sin(-250^{\circ})$.

2) Для сравнения $\mathrm{ctg}\,100^{\circ}$ и $\mathrm{ctg}\,80^{\circ}$, определим знаки этих выражений. Угол $100^{\circ}$ находится во второй координатной четверти ($90^{\circ} < 100^{\circ} < 180^{\circ}$), где котангенс отрицателен. Следовательно, $\mathrm{ctg}\,100^{\circ} < 0$.
Угол $80^{\circ}$ находится в первой координатной четверти ($0^{\circ} < 80^{\circ} < 90^{\circ}$), где котангенс положителен. Следовательно, $\mathrm{ctg}\,80^{\circ} > 0$.
Так как отрицательное число меньше положительного, то $\mathrm{ctg}\,100^{\circ} < \mathrm{ctg}\,80^{\circ}$.
Ответ: $\mathrm{ctg}\,100^{\circ} < \mathrm{ctg}\,80^{\circ}$.

3) Для сравнения $\cos 250^{\circ}$ и $\cos 290^{\circ}$, определим знаки этих выражений. Угол $250^{\circ}$ находится в третьей координатной четверти ($180^{\circ} < 250^{\circ} < 270^{\circ}$), где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos 250^{\circ} < 0$.
Угол $290^{\circ}$ находится в четвертой координатной четверти ($270^{\circ} < 290^{\circ} < 360^{\circ}$), где косинус положителен. Следовательно, $\cos 290^{\circ} > 0$.
Так как отрицательное число меньше положительного, то $\cos 250^{\circ} < \cos 290^{\circ}$.
Ответ: $\cos 250^{\circ} < \cos 290^{\circ}$.

4) Для сравнения $\cos 6,2$ и $\sin 5$, определим, в каких координатных четвертях находятся углы 6,2 радиан и 5 радиан. Используем приближенные значения: $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$.
Для угла 6,2 радиан: $4,71 < 6,2 < 6,28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 6,2 < 2\pi$. Угол находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $\cos 6,2 > 0$.
Для угла 5 радиан: $4,71 < 5 < 6,28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$. Угол также находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Следовательно, $\sin 5 < 0$.
Так как положительное число больше отрицательного, то $\cos 6,2 > \sin 5$.
Ответ: $\cos 6,2 > \sin 5$.