Номер 19.4, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.4. Найдите значение выражения:

1) $ \sin^2 (-60^\circ) + \cos^2 (-30^\circ); $

2) $ 2\mathrm{tg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) \mathrm{ctg} \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 3\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) + 4\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right). $

1) Найдем значение выражения $sin^2(-60^\circ) + cos^2(-30^\circ)$.

Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций. Синус — нечетная функция, то есть $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$. Косинус — четная функция, то есть $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

Тогда выражение можно переписать в виде:

$sin^2(-60^\circ) = (sin(-60^\circ))^2 = (-sin(60^\circ))^2 = sin^2(60^\circ)$

$cos^2(-30^\circ) = (cos(-30^\circ))^2 = (cos(30^\circ))^2 = cos^2(30^\circ)$

Теперь используем табличные значения тригонометрических функций:

$sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем эти значения в наше выражение:

$sin^2(60^\circ) + cos^2(30^\circ) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3+3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$

2) Найдем значение выражения $2\text{tg}(-\frac{\pi}{4})\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) + 3\sin(-\frac{\pi}{2}) + 4\cos(-\frac{\pi}{6})$.

Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

• Тангенс: $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ (нечетная)
• Котангенс: $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$ (нечетная)
• Синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ (нечетная)
• Косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ (четная)

Применим эти свойства к нашему выражению:

$2\text{tg}(-\frac{\pi}{4})\text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = 2(-\text{tg}(\frac{\pi}{4}))(-\text{ctg}(\frac{\pi}{6})) = 2\text{tg}(\frac{\pi}{4})\text{ctg}(\frac{\pi}{6})$

$3\sin(-\frac{\pi}{2}) = -3\sin(\frac{\pi}{2})$

$4\cos(-\frac{\pi}{6}) = 4\cos(\frac{\pi}{6})$

Все выражение примет вид:

$2\text{tg}(\frac{\pi}{4})\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) - 3\sin(\frac{\pi}{2}) + 4\cos(\frac{\pi}{6})$

Теперь подставим табличные значения:

$\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$

$\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычисляем значение выражения:

$2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} - 3 \cdot 1 + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} - 3 + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 3$

Ответ: $4\sqrt{3} - 3$