Номер 19.1, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.1. Положительным или отрицательным числом является значение тригонометрической функции: 1) $\sin (-280^\circ)$; 2) $\cos 340^\circ$; 3) $\sin (-130^\circ)$; 4) $\cos 2$; 5) $\sin (-3)$; 6) $\tan 1$; 7) $\cot \frac{7\pi}{4}$; 8) $\tan \frac{5\pi}{6}$?

Для определения знака тригонометрической функции необходимо определить, в какой координатной четверти находится угол, и вспомнить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждой из четвертей.

• I четверть ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$ или $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): все функции положительны.
• II четверть ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$ или $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): положителен только синус.
• III четверть ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$ или $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): положительны тангенс и котангенс.
• IV четверть ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$ или $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): положителен только косинус.

Также используются свойства четности и нечетности функций:
$ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ (нечетная)
$ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $ (четная)
$ \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ (нечетная)
$ \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (нечетная)

1) $ \sin(-280^\circ) $
Приведем угол к положительному значению в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$, воспользовавшись периодичностью синуса: $ -280^\circ + 360^\circ = 80^\circ $.
Таким образом, $ \sin(-280^\circ) = \sin(80^\circ) $.
Угол $ 80^\circ $ находится в первой четверти, где синус положителен.
Ответ: положительное число.

2) $ \cos(340^\circ) $
Угол $ 340^\circ $ находится в четвертой четверти, так как $ 270^\circ < 340^\circ < 360^\circ $. В этой четверти косинус положителен.
Ответ: положительное число.

3) $ \sin(-130^\circ) $
Используем свойство нечетности синуса: $ \sin(-130^\circ) = -\sin(130^\circ) $.
Угол $ 130^\circ $ находится во второй четверти ($ 90^\circ < 130^\circ < 180^\circ $), где синус положителен.
Следовательно, $ -\sin(130^\circ) $ будет отрицательным числом.
Ответ: отрицательное число.

4) $ \cos(2) $
Угол задан в радианах. Определим, в какой четверти он находится, используя приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $.
$ \frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57 $.
$ \pi \approx 3.14 $.
Поскольку $ 1.57 < 2 < 3.14 $, то есть $ \frac{\pi}{2} < 2 < \pi $, угол в 2 радиана лежит во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен.
Ответ: отрицательное число.

5) $ \sin(-3) $
Используем свойство нечетности синуса: $ \sin(-3) = -\sin(3) $.
Угол в 3 радиана лежит во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14 $.
Синус во второй четверти положителен ($ \sin(3) > 0 $).
Следовательно, $ -\sin(3) $ будет отрицательным числом.
Ответ: отрицательное число.

6) $ \text{tg}(1) $
Угол в 1 радиан лежит в первой четверти, так как $ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $.
Тангенс в первой четверти положителен.
Ответ: положительное число.

7) $ \text{ctg}(\frac{7\pi}{4}) $
Угол $ \frac{7\pi}{4} $ находится в четвертой четверти, так как $ \frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi $ ($ \frac{6\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} < \frac{8\pi}{4} $).
В четвертой четверти котангенс отрицателен (так как синус отрицателен, а косинус положителен).
Ответ: отрицательное число.

8) $ \text{tg}(\frac{5\pi}{6}) $
Угол $ \frac{5\pi}{6} $ находится во второй четверти, так как $ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi $ ($ \frac{3\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6} $).
Во второй четверти тангенс отрицателен (так как синус положителен, а косинус отрицателен).
Ответ: отрицательное число.