Номер 17.9, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.9. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $-380^{\circ}$;

2) $-800^{\circ}$;

3) $5,5\pi$;

4) $-\frac{11\pi}{6}$;

5) $1$;

6) $-3?$

Для определения координатной четверти, в которой находится точка на единичной окружности, необходимо привести заданный угол к значению в диапазоне от 0° до 360° (или от 0 до $2\pi$ радиан).

• I четверть: угол от 0° до 90° ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$)
• II четверть: угол от 90° до 180° ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$)
• III четверть: угол от 180° до 270° ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$)
• IV четверть: угол от 270° до 360° ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$)

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки от точки $P_0(1; 0)$, а отрицательные — по часовой стрелке.

Угол $-380°$ является отрицательным. Чтобы найти его положение на окружности, можно прибавить к нему полный оборот, равный 360°, до тех пор, пока не получим угол в промежутке от 0° до 360°.

$-380° + 360° = -20°$

Угол $-20°$ означает поворот на 20° по часовой стрелке от начальной точки. Этот угол эквивалентен углу $360° - 20° = 340°$.

Полученный угол $340°$ находится в промежутке $270° < 340° < 360°$. Следовательно, точка находится в IV четверти.

Ответ: IV четверть.

Угол $-800°$ является отрицательным. Найдем эквивалентный ему положительный угол, прибавляя полные обороты по 360°.

$-800° + 2 \times 360° = -800° + 720° = -80°$.

Угол $-80°$ эквивалентен углу $360° - 80° = 280°$.

Угол $280°$ находится в промежутке $270° < 280° < 360°$. Следовательно, точка находится в IV четверти.

Ответ: IV четверть.

Угол задан в радианах: $5,5\pi$. Полный оборот в радианах равен $2\pi$. Чтобы найти положение точки, вычтем из данного угла целое число полных оборотов.

$5,5\pi = 4\pi + 1,5\pi = 2 \times (2\pi) + \frac{3\pi}{2}$.

Это означает, что точка совершает два полных оборота против часовой стрелки и останавливается в положении, соответствующем углу $\frac{3\pi}{2}$ радиан.

Угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан (или 270°) соответствует точке с координатами $(0; -1)$, которая лежит на отрицательной части оси OY. Эта точка находится на границе между III и IV четвертями и не принадлежит ни одной из них.

Ответ: Точка находится на границе III и IV четвертей.

Угол $-\frac{11\pi}{6}$ является отрицательным. Найдем эквивалентный ему положительный угол в промежутке от 0 до $2\pi$, прибавив $2\pi$.

$-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = -\frac{11\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Угол $\frac{\pi}{6}$ находится в промежутке $0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, точка находится в I четверти.

Ответ: I четверть.

Угол задан как 1 радиан. Для определения четверти сравним это значение с граничными значениями четвертей в радианах, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.

Граница I и II четвертей — угол $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$ радиан.

Так как $0 < 1 < 1,57$, то угол 1 радиан находится в промежутке $(0, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, точка находится в I четверти.

Ответ: I четверть.

Угол задан как -3 радиана. Это отрицательный угол. Можно найти эквивалентный положительный угол, прибавив $2\pi$.

$-3 + 2\pi \approx -3 + 2 \times 3,14159 = -3 + 6,28318 = 3,28318$ радиан.

Сравним полученное значение с границами четвертей:

$\pi \approx 3,14159$ (граница II и III четвертей).

$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3,14159}{2} \approx 4,71$ (граница III и IV четвертей).

Поскольку $3,14159 < 3,28318 < 4,71$, угол находится в промежутке $(\pi, \frac{3\pi}{2})$. Следовательно, точка находится в III четверти.

Ответ: III четверть.