Номер 17.7, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.7. Отметьте на единичной окружности точку, которую получим при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $225^\circ$;

2) $-315^\circ$;

3) $\frac{2\pi}{3}$;

4) $-\frac{5\pi}{6}$;

5) $6\pi$;

6) $-720^\circ$.

Задача состоит в том, чтобы найти положение точки на единичной окружности после поворота начальной точки $P_0(1; 0)$ на заданный угол. Положительный угол соответствует повороту против часовой стрелки, а отрицательный – по часовой стрелке. Координаты $(x; y)$ точки на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, определяются как $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

1) 225°

Поворот на $225^\circ$ осуществляется против часовой стрелки. Угол $225^\circ$ можно представить как $180^\circ + 45^\circ$. Это означает, что точка окажется в третьей координатной четверти.

Найдем координаты точки $P_1$:
$x_1 = \cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y_1 = \sin(225^\circ) = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Точка расположена в третьей четверти на биссектрисе этого координатного угла.

Ответ: Точка $P_1(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

2) -315°

Поворот на $-315^\circ$ осуществляется по часовой стрелке. Этот поворот эквивалентен повороту против часовой стрелки на угол $360^\circ - 315^\circ = 45^\circ$. Точка окажется в первой координатной четверти.

Найдем координаты точки $P_2$:
$x_2 = \cos(-315^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y_2 = \sin(-315^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Точка расположена в первой четверти на биссектрисе этого координатного угла.

Ответ: Точка $P_2(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

3) $\frac{2\pi}{3}$

Поворот на угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан осуществляется против часовой стрелки. Переведем угол в градусы: $\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 120^\circ$. Этот угол соответствует второй координатной четверти.

Найдем координаты точки $P_3$:
$x_3 = \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$
$y_3 = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Точка $P_3(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

4) $-\frac{5\pi}{6}$

Поворот на угол $-\frac{5\pi}{6}$ радиан осуществляется по часовой стрелке. Переведем угол в градусы: $-\frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -150^\circ$. Этот угол соответствует третьей координатной четверти.

Найдем координаты точки $P_4$:
$x_4 = \cos(-\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y_4 = \sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\sin(150^\circ) = -\frac{1}{2}$

Ответ: Точка $P_4(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

5) $6\pi$

Полный оборот по окружности равен $2\pi$ радиан. Угол $6\pi$ равен трем полным оборотам ($6\pi = 3 \cdot 2\pi$).

Следовательно, после поворота на угол $6\pi$ точка вернется в свое начальное положение $P_0(1; 0)$.

Координаты точки $P_5$:
$x_5 = \cos(6\pi) = \cos(0) = 1$
$y_5 = \sin(6\pi) = \sin(0) = 0$

Ответ: Точка $P_5(1; 0)$.

6) -720°

Полный оборот по окружности равен $360^\circ$. Угол $-720^\circ$ равен двум полным оборотам по часовой стрелке ($-720^\circ = -2 \cdot 360^\circ$).

Следовательно, после поворота на угол $-720^\circ$ точка вернется в свое начальное положение $P_0(1; 0)$.

Координаты точки $P_6$:
$x_6 = \cos(-720^\circ) = \cos(0^\circ) = 1$
$y_6 = \sin(-720^\circ) = \sin(0^\circ) = 0$

Ответ: Точка $P_6(1; 0)$.