Номер 17.8, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.8. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0 (1; 0)$ на угол:

1) $400^{\circ}$;

2) $750^{\circ}$;

3) $-470^{\circ}$;

4) $-\frac{7\pi}{6}$;

5) $-1,8\pi$;

6) $6?$;

Чтобы определить, в какой четверти находится точка на единичной окружности, нужно привести заданный угол к значению в диапазоне от 0° до 360° (или от $0$ до $2\pi$ радиан). Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки от точки $P_0(1; 0)$, отрицательные — по часовой стрелке.

• I четверть: от 0° до 90° ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$)
• II четверть: от 90° до 180° ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$)
• III четверть: от 180° до 270° ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$)
• IV четверть: от 270° до 360° ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$)

1) 400°

Угол $400°$ больше полного оборота ($360°$). Чтобы найти эквивалентный угол в пределах одного оборота, вычтем $360°$:
$400° - 360° = 40°$.
Угол $40°$ находится в интервале от $0°$ до $90°$, следовательно, точка находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

2) 750°

Угол $750°$ содержит несколько полных оборотов. Найдем остаток от деления $750°$ на $360°$:
$750° = 2 \cdot 360° + 30° = 720° + 30°$.
Эквивалентный угол равен $30°$. Угол $30°$ находится в интервале от $0°$ до $90°$, следовательно, точка находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

3) -470°

Угол отрицательный. Чтобы найти эквивалентный положительный угол, будем прибавлять $360°$, пока не получим значение в диапазоне от $0°$ до $360°$:
$-470° + 360° = -110°$.
$-110° + 360° = 250°$. (Или $-470° + 2 \cdot 360° = -470° + 720° = 250°$)
Угол $250°$ находится в интервале от $180°$ до $270°$, следовательно, точка находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

4) $-\frac{7\pi}{6}$

Угол задан в радианах. Так как он отрицательный, прибавим полный оборот $2\pi$, чтобы найти эквивалентный положительный угол:
$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = -\frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Сравним полученный угол с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$ (поскольку $\frac{3\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$). Это соответствует второй четверти.
Ответ: II четверть.

5) -1,8π

Угол отрицательный. Прибавим $2\pi$:
$-1,8\pi + 2\pi = 0,2\pi$.
Сравним с границами первой четверти ($0$ до $\frac{\pi}{2}$ или $0.5\pi$): $0 < 0,2\pi < 0,5\pi$. Следовательно, точка находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

6) 6

Угол задан в радианах (6 радиан). Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, чтобы определить границы четвертей:
$\frac{\pi}{2} \approx 1,57$
$\pi \approx 3,14$
$\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$
$2\pi \approx 6,28$
Угол 6 радиан удовлетворяет неравенству $4,71 < 6 < 6,28$, что соответствует интервалу $(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$. Следовательно, точка находится в четвертой четверти.
Ответ: IV четверть.