Страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое уравнение называют иррациональным?

2. Сформулируйте теоремы о равносильных переходах при решении иррациональных уравнений.

3. Как можно выявить посторонние корни уравнения?

1. Какое уравнение называют иррациональным?

Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором переменная (неизвестное) содержится под знаком корня (радикала) или возводится в дробную степень. Другими словами, это уравнение, содержащее иррациональные функции относительно переменной.

Например, уравнения $\sqrt{x+5} = 3$, $\sqrt[3]{x^2-1} = x$, $x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{4}} = 2$ являются иррациональными.

Ответ: Иррациональным называют уравнение, в котором переменная находится под знаком корня или в основании степени с дробным показателем.

2. Сформулируйте теоремы о равносильных переходах при решении иррациональных уравнений.

При решении иррациональных уравнений ключевым методом является избавление от знака корня путем возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень. Равносильность преобразований зависит от четности показателя корня.

Теорема 1 (Корень четной степени). Уравнение вида $\sqrt[2n]{f(x)} = g(x)$, где $n$ — натуральное число, равносильно системе:

$$ \begin{cases} f(x) = (g(x))^{2n}, \\ g(x) \ge 0. \end{cases} $$

Условие неотрицательности подкоренного выражения $f(x) \ge 0$ является избыточным, так как оно автоматически следует из первого уравнения системы, где $f(x)$ приравнивается к выражению в четной степени $(g(x))^{2n}$, которое всегда неотрицательно.

Теорема 2 (Корень нечетной степени). Уравнение вида $\sqrt[2n+1]{f(x)} = g(x)$, где $n$ — натуральное число, равносильно уравнению:

$$f(x) = (g(x))^{2n+1}$$

Никаких дополнительных условий не требуется, так как корень нечетной степени существует для любого действительного значения подкоренного выражения и может принимать любые действительные значения (положительные, отрицательные и ноль).

Теорема 3 (Равенство двух корней четной степени). Уравнение вида $\sqrt[2n]{f(x)} = \sqrt[2n]{g(x)}$ равносильно одной из двух систем (достаточно выбрать ту, в которой неравенство проще):

$$ \begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) \ge 0. \end{cases} $$

Ответ: Теоремы о равносильных переходах при решении иррациональных уравнений заключаются в возведении обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня, с обязательным добавлением условия неотрицательности для той части уравнения, которая приравнивается к корню четной степени. Для корней нечетной степени возведение в степень является равносильным переходом без дополнительных условий.

3. Как можно выявить посторонние корни уравнения?

Посторонние корни могут возникнуть в процессе решения уравнения при использовании неравносильных преобразований. Чаще всего это происходит при возведении обеих частей уравнения в четную степень без учета ограничений. Выявить посторонние корни можно следующими способами:

1. Проверка подстановкой. Это наиболее универсальный и надежный метод. Все найденные потенциальные решения необходимо подставить в исходное (самое первое) уравнение. Те значения переменной, которые превращают уравнение в верное числовое равенство, являются его корнями. Те значения, при которых равенство не выполняется, являются посторонними корнями и должны быть отброшены.
2. Анализ области допустимых значений (ОДЗ). Перед решением можно найти ОДЗ уравнения — множество всех значений переменной, при которых все выражения, входящие в уравнение, имеют смысл. Для иррациональных уравнений это в первую очередь означает, что все подкоренные выражения корней четной степени должны быть неотрицательны. Корни, не входящие в ОДЗ, являются посторонними. Однако этот метод не всегда отсеивает все посторонние корни, так как корень может входить в ОДЗ, но не удовлетворять другим условиям (например, знаку выражения, как в уравнении $\sqrt{x} = -2$).
3. Использование равносильных преобразований. Если при решении строго следовать теоремам о равносильных переходах (см. пункт 2), добавляя все необходимые неравенства-ограничения в систему, то посторонние корни не появятся, и все найденные решения будут верными.

Ответ: Выявить посторонние корни можно, выполнив проверку подстановкой найденных значений в исходное уравнение, либо проверив соответствие корней области допустимых значений (ОДЗ) и другим ограничениям, возникающим в ходе равносильных преобразований.

14.1. Решите уравнение:

1) $\sqrt[7]{2x - 1} = \sqrt[7]{3 - x}$;

2) $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{1 - 2x}$;

3) $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x - 3}$;

4) $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x^2 + 4x - 16}$.

1) Дано уравнение $\sqrt[7]{2x - 1} = \sqrt[7]{3 - x}$.

Поскольку корень нечетной степени (седьмой), область определения не имеет ограничений для подкоренных выражений. Мы можем возвести обе части уравнения в седьмую степень, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt[7]{2x - 1})^7 = (\sqrt[7]{3 - x})^7$

$2x - 1 = 3 - x$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$2x + x = 3 + 1$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) Дано уравнение $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{1 - 2x}$.

Поскольку корень четной степени (квадратный), подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ 1 - 2x \ge 0 \end{cases}$

Решим ее:

$\begin{cases} 2x \ge 1 \\ 1 \ge 2x \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x \le \frac{1}{2} \end{cases}$

Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим неравенствам, это $x = \frac{1}{2}$.

Проверим, является ли $x = \frac{1}{2}$ решением исходного уравнения, подставив это значение:

$\sqrt{2(\frac{1}{2}) - 1} = \sqrt{1 - 2(\frac{1}{2})}$

$\sqrt{1 - 1} = \sqrt{1 - 1}$

$\sqrt{0} = \sqrt{0}$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, $x = \frac{1}{2}$ является решением.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Дано уравнение $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x - 3}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:

$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x \ge 3 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 3$.

Теперь решим само уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x - 1})^2 = (\sqrt{x - 3})^2$

$2x - 1 = x - 3$

$2x - x = -3 + 1$

$x = -2$

Полученное значение $x = -2$ не удовлетворяет условию ОДЗ ($x \ge 3$). Следовательно, это посторонний корень, и уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

4) Дано уравнение $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x^2 + 4x - 16}$.

Данное уравнение равносильно системе, в которой мы приравниваем подкоренные выражения и требуем, чтобы одно из них (а значит, и второе) было неотрицательным.

$\begin{cases} 2x - 1 = x^2 + 4x - 16 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение:

$x^2 + 4x - 2x - 16 + 1 = 0$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -15$

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни неравенству $2x - 1 \ge 0$.

Для $x_1 = 3$:

$2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 \ge 0$. Неравенство выполняется, значит, $x=3$ является корнем исходного уравнения.

Для $x_2 = -5$:

$2(-5) - 1 = -10 - 1 = -11$. Так как $-11 < 0$, неравенство не выполняется, значит, $x=-5$ — посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $3$.

14.2. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{x+3} = \sqrt[4]{2x-3}$;

2) $\sqrt{4x-5} = \sqrt{1-x}$;

3) $\sqrt[5]{x^2-25} = \sqrt[5]{2x+10}$;

4) $\sqrt{x^2-36} = \sqrt{2x-1}$.

1) $\sqrt[4]{x+3} = \sqrt[4]{2x-3}$
Поскольку показатели корней (4) четные, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 2x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1.5 \end{cases} \implies x \ge 1.5$
Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от корней:
$(\sqrt[4]{x+3})^4 = (\sqrt[4]{2x-3})^4$
$x+3 = 2x-3$
$2x-x = 3+3$
$x = 6$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $6 \ge 1.5$, корень $x=6$ является решением уравнения.
Ответ: 6

2) $\sqrt{4x-5} = \sqrt{1-x}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав неотрицательности подкоренных выражений:
$\begin{cases} 4x-5 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x \ge 5 \\ x \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1.25 \\ x \le 1 \end{cases}$
Данная система неравенств не имеет решений, так как не существует числа, которое было бы одновременно больше или равно $1.25$ и меньше или равно $1$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет

3) $\sqrt[5]{x^2 - 25} = \sqrt[5]{2x + 10}$
Поскольку показатель корня (5) - нечетное число, подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничений на ОДЗ нет.
Возведем обе части уравнения в пятую степень:
$(\sqrt[5]{x^2 - 25})^5 = (\sqrt[5]{2x + 10})^5$
$x^2 - 25 = 2x + 10$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 2x - 35 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -35$
Корни уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$.
Ответ: -5; 7

4) $\sqrt{x^2 - 36} = \sqrt{2x - 1}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как корни квадратные, подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
$\begin{cases} x^2 - 36 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} (x-6)(x+6) \ge 0 \\ 2x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty) \\ x \ge 0.5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является промежуток $x \ge 6$.
Теперь решим уравнение, возведя обе части в квадрат:
$x^2 - 36 = 2x - 1$
$x^2 - 2x - 35 = 0$
Корни этого квадратного уравнения (как и в предыдущем задании) равны $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 6$):
Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию ($7 \ge 6$).
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 6$), поэтому является посторонним.
Следовательно, у уравнения только один корень.
Ответ: 7

14.3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2-x}=x$;

2) $\sqrt{x+1}=x-1$;

3) $\sqrt{3x-2}=x$;

4) $\sqrt{x^2-1}=3-2x$;

5) $x-\sqrt{2x^2+x-21}=3$;

6) $x+2+\sqrt{8-3x-x^2}=0$.

1) $\sqrt{2 - x} = x$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x \ge 0, \\ 2 - x = x^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы: $x^2 + x - 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Теперь проверим выполнение условия $x \ge 0$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 0$, поэтому является посторонним.

Таким образом, решением исходного уравнения является только $x = 1$.

Ответ: $1$.

2) $\sqrt{x + 1} = x - 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0, \\ x + 1 = (x - 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 1$.

Решим второе уравнение системы:

$x + 1 = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Проверим выполнение условия $x \ge 1$.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \ge 1$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 1$.

Следовательно, решением является $x = 3$.

Ответ: $3$.

3) $\sqrt{3x - 2} = x$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x \ge 0, \\ 3x - 2 = x^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы: $x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а произведение равно $2$.

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Проверим выполнение условия $x \ge 0$.

Оба корня, $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$, удовлетворяют этому условию.

Ответ: $1; 2$.

4) $\sqrt{x^2 - 1} = 3 - 2x$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3 - 2x \ge 0, \\ x^2 - 1 = (3 - 2x)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства: $3 \ge 2x \Rightarrow x \le 1.5$.

Решим второе уравнение:

$x^2 - 1 = 9 - 12x + 4x^2$

$3x^2 - 12x + 10 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 144 - 120 = 24$.

Корни уравнения: $x = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$.

$x_1 = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$, $x_2 = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$.

Проверим корни на соответствие условию $x \le 1.5$.

Для $x_1 = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$: так как $2 < \sqrt{6} < 3$, то $\frac{6+2}{3} < x_1 < \frac{6+3}{3}$, то есть $\frac{8}{3} < x_1 < 3$. Очевидно, $x_1 > 1.5$, значит, это посторонний корень.

Для $x_2 = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$: так как $2 < \sqrt{6} < 3$, то $\frac{6-3}{3} < x_2 < \frac{6-2}{3}$, то есть $1 < x_2 < \frac{4}{3}$. Так как $\frac{4}{3} \approx 1.33 < 1.5$, этот корень удовлетворяет условию.

Также необходимо, чтобы подкоренное выражение $x^2 - 1$ было неотрицательным. Для $x_2 = \frac{6 - \sqrt{6}}{3} > 1$, условие $x^2 - 1 \ge 0$ выполняется.

Ответ: $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$.

5) $x - \sqrt{2x^2 + x - 21} = 3$

Перенесем слагаемые, чтобы изолировать корень:

$\sqrt{2x^2 + x - 21} = x - 3$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0, \\ 2x^2 + x - 21 = (x - 3)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 3$.

Решим второе уравнение:

$2x^2 + x - 21 = x^2 - 6x + 9$

$x^2 + 7x - 30 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение $-30$.

Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -10$.

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 3$.

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 3$.

Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию $-10 \ge 3$, значит, это посторонний корень.

Ответ: $3$.

6) $x + 2 + \sqrt{8 - 3x - x^2} = 0$

Изолируем корень:

$\sqrt{8 - 3x - x^2} = -x - 2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} -x - 2 \ge 0, \\ 8 - 3x - x^2 = (-x - 2)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства: $-x \ge 2 \Rightarrow x \le -2$.

Решим второе уравнение:

$8 - 3x - x^2 = (x + 2)^2$

$8 - 3x - x^2 = x^2 + 4x + 4$

$2x^2 + 7x - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $x = \frac{-7 \pm 9}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 9}{4}$.

$x_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$, $x_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$.

Проверим корни на соответствие условию $x \le -2$.

Корень $x_1 = 0.5$ не удовлетворяет условию $0.5 \le -2$, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет условию $-4 \le -2$.

Проверим также, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным для $x = -4$:

$8 - 3(-4) - (-4)^2 = 8 + 12 - 16 = 4 \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $-4$.

14.4. Решите уравнение:

1) $\sqrt{10 - 3x} = -x;$

2) $\sqrt{2x^2 + 5x + 4} = 2x + 2;$

3) $\sqrt{x + 2} = 1 - x;$

4) $x - \sqrt{3x^2 - 11x - 20} = 5.$

1) $\sqrt{10 - 3x} = -x$

Для решения иррационального уравнения необходимо найти его область допустимых значений (ОДЗ), а затем возвести обе части в квадрат.

ОДЗ:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $10 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 10 \implies x \le \frac{10}{3}$.
2. Правая часть уравнения, которой равен арифметический квадратный корень, также должна быть неотрицательной: $-x \ge 0 \implies x \le 0$.
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; 0]$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{10 - 3x})^2 = (-x)^2$
$10 - 3x = x^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета (сумма корней -3, произведение -10, корни -5 и 2) или найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 0$):
Корень $x_1 = -5$ удовлетворяет условию ($-5 \le 0$).
Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию ($2 > 0$), поэтому является посторонним.
Ответ: -5

2) $\sqrt{2x^2 + 5x + 4} = 2x + 2$

Определим ОДЗ.
1. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $2x + 2 \ge 0 \implies 2x \ge -2 \implies x \ge -1$.
2. Подкоренное выражение $2x^2 + 5x + 4$ должно быть неотрицательным. Найдем дискриминант этого трехчлена: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7$. Так как старший коэффициент ($a=2$) положителен, а дискриминант отрицателен, парабола $y=2x^2+5x+4$ целиком лежит выше оси Ox, то есть выражение $2x^2 + 5x + 4$ всегда положительно при любом $x$.
Таким образом, ОДЗ: $x \ge -1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x^2 + 5x + 4})^2 = (2x + 2)^2$
$2x^2 + 5x + 4 = 4x^2 + 8x + 4$
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:
$4x^2 - 2x^2 + 8x - 5x + 4 - 4 = 0$
$2x^2 + 3x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:
$x(2x + 3) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$
$2x + 3 = 0 \implies x_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1$):
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию ($0 \ge -1$).
Корень $x_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию ($-1.5 < -1$), поэтому является посторонним.
Ответ: 0

3) $\sqrt{x + 2} = 1 - x$

Определим ОДЗ:
1. $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
2. $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.
Общее ОДЗ: $x \in [-2; 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x + 2})^2 = (1 - x)^2$
$x + 2 = 1 - 2x + x^2$
Перенесем все в одну сторону:
$x^2 - 3x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in [-2; 1]$):
Оценим значение $\sqrt{13}$. Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{13} < 4$.
Для $x_1 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$: $x_1 \approx \frac{3 - 3.6}{2} = -0.3$. Это значение входит в промежуток $[-2; 1]$.
Для $x_2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$: $x_2 \approx \frac{3 + 3.6}{2} = 3.3$. Это значение не входит в промежуток $[-2; 1]$.
Следовательно, корень $x_2$ является посторонним.
Ответ: $\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

4) $x - \sqrt{3x^2 - 11x - 20} = 5$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы изолировать радикал:
$x - 5 = \sqrt{3x^2 - 11x - 20}$

Определим ОДЗ.
1. Левая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$.
2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x^2 - 11x - 20 \ge 0$. Найдем корни трехчлена $3x^2 - 11x - 20=0$.
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2$.
$x_{1,2} = \frac{11 \pm 19}{6}$, откуда $x_1 = \frac{11 - 19}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$ и $x_2 = \frac{11 + 19}{6} = \frac{30}{6} = 5$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $3x^2 - 11x - 20 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -\frac{4}{3}] \cup [5; \infty)$.
Совмещая оба условия ($x \ge 5$ и $x \in (-\infty; -\frac{4}{3}] \cup [5; \infty)$), получаем ОДЗ: $x \ge 5$.

Возведем обе части уравнения $x - 5 = \sqrt{3x^2 - 11x - 20}$ в квадрат:
$(x - 5)^2 = 3x^2 - 11x - 20$
$x^2 - 10x + 25 = 3x^2 - 11x - 20$
Перенесем все в правую часть:
$2x^2 - x - 45 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 1 + 360 = 361 = 19^2$
$x_{1,2} = \frac{1 \pm 19}{4}$
$x_1 = \frac{1 - 19}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$
$x_2 = \frac{1 + 19}{4} = \frac{20}{4} = 5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 5$):
Корень $x_1 = -4.5$ не удовлетворяет условию ($-4.5 < 5$), является посторонним.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 5$).
Ответ: 5

14.5. Решите уравнение:

1) $\sqrt{(2x+3)(x-4)} = x-4;$

2) $\sqrt{(x-2)(2x-5)} + 2 = x;$

3) $(x+2)\sqrt{x^2-x-20} = 6x+12;$

4) $(x+1)\sqrt{x^2-5x+5} = x+1.$

1) $\sqrt{(2x + 3)(x - 4)} = x - 4$

Данное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае:

$\begin{cases} x - 4 \ge 0 \\ (2x + 3)(x - 4) = (x - 4)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства следует, что $x \ge 4$.

Решим второе уравнение системы:

$(2x + 3)(x - 4) - (x - 4)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)((2x + 3) - (x - 4)) = 0$

$(x - 4)(2x + 3 - x + 4) = 0$

$(x - 4)(x + 7) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -7$.

Теперь проверим эти корни на соответствие условию $x \ge 4$.

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 \ge 4$.

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 < 4$. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = 4$.

Ответ: $4$.

2) $\sqrt{(x - 2)(2x - 5) + 2} = x$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ (x - 2)(2x - 5) + 2 = x^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение:

$2x^2 - 5x - 4x + 10 + 2 = x^2$

$2x^2 - 9x + 12 = x^2$

$x^2 - 9x + 12 = 0$

Найдем корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 81 - 48 = 33$

$x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{9 + \sqrt{33}}{2}$ и $x_2 = \frac{9 - \sqrt{33}}{2}$.

Проверим оба корня на соответствие условию $x \ge 0$.

Корень $x_1 = \frac{9 + \sqrt{33}}{2}$ очевидно положителен.

Для корня $x_2 = \frac{9 - \sqrt{33}}{2}$ сравним $9$ и $\sqrt{33}$. Так как $9^2 = 81$ и $(\sqrt{33})^2 = 33$, то $81 > 33$, а значит $9 > \sqrt{33}$. Следовательно, $9 - \sqrt{33} > 0$, и корень $x_2$ также положителен.

Оба корня удовлетворяют условию системы.

Ответ: $\frac{9 \pm \sqrt{33}}{2}$.

3) $(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x + 12$

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем правую часть:

$(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6(x + 2)$

$(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} - 6(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$:

$(x + 2)(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $x + 2 = 0 \implies x = -2$

2) $\sqrt{x^2 - x - 20} - 6 = 0 \implies \sqrt{x^2 - x - 20} = 6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - x - 20 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$.

Проверим корень $x = -2$. Он не входит в ОДЗ, так как $-4 < -2 < 5$. Следовательно, $x = -2$ — посторонний корень.

Решим второе уравнение: $\sqrt{x^2 - x - 20} = 6$. Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - x - 20 = 36$

$x^2 - x - 56 = 0$

По теореме Виета, корни $x_3 = 8$ и $x_4 = -7$.

Проверим эти корни на принадлежность ОДЗ.

Корень $x = 8$ принадлежит ОДЗ, так как $8 \ge 5$.

Корень $x = -7$ принадлежит ОДЗ, так как $-7 \le -4$.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $-7; 8$.

4) $(x + 1)\sqrt{x^2 - 5x + 5} = x + 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$(x + 1)\sqrt{x^2 - 5x + 5} - (x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)(\sqrt{x^2 - 5x + 5} - 1) = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$

2) $\sqrt{x^2 - 5x + 5} - 1 = 0 \implies \sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1$

Найдем ОДЗ: $x^2 - 5x + 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Корни: $x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$.

Проверим корень $x = -1$. Необходимо проверить, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$. Умножим на 2: $-2 \le 5 - \sqrt{5}$, что эквивалентно $\sqrt{5} \le 7$. Это верно, так как $5 \le 49$. Корень $x = -1$ входит в ОДЗ и является решением (при подстановке получаем $0=0$).

Решим второе уравнение: $\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1$. Возведем в квадрат:

$x^2 - 5x + 5 = 1$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Проверим эти корни на принадлежность ОДЗ.

Для $x=1$: $1 \le \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \implies 2 \le 5 - \sqrt{5} \implies \sqrt{5} \le 3 \implies 5 \le 9$. Верно. Корень $x = 1$ входит в ОДЗ.

Для $x=4$: $4 \ge \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \implies 8 \ge 5 + \sqrt{5} \implies 3 \ge \sqrt{5} \implies 9 \ge 5$. Верно. Корень $x = 4$ входит в ОДЗ.

Все три найденных значения являются корнями уравнения.

Ответ: $-1; 1; 4$.

14.6. Решите уравнение:

1) $\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1$;

2) $(x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5x - 5$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{(3x-1)(4x+3)} = 3x-1$.

Данное уравнение имеет вид $\sqrt{f(x)} = g(x)$. Такое уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $

В нашем случае $f(x) = (3x-1)(4x+3)$ и $g(x) = 3x-1$. Получаем систему:
$ \begin{cases} 3x-1 \ge 0 \\ (3x-1)(4x+3) = (3x-1)^2 \end{cases} $

1. Решим неравенство:
$3x-1 \ge 0$
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$

2. Решим уравнение:
$(3x-1)(4x+3) = (3x-1)^2$
Перенесем все члены в одну сторону:
$(3x-1)(4x+3) - (3x-1)^2 = 0$
Вынесем общий множитель $(3x-1)$ за скобки:
$(3x-1) \cdot ((4x+3) - (3x-1)) = 0$
$(3x-1)(4x+3-3x+1) = 0$
$(3x-1)(x+4) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$3x-1=0$ или $x+4=0$
$x_1 = \frac{1}{3}$
$x_2 = -4$

3. Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge \frac{1}{3}$:
Для $x_1 = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} \ge \frac{1}{3}$. Условие выполняется, значит, $x = \frac{1}{3}$ является корнем уравнения.
Для $x_2 = -4$: $-4 \ge \frac{1}{3}$. Условие не выполняется, значит, $x = -4$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Исходное уравнение: $(x-1)\sqrt{x^2-3x-3} = 5x-5$.

Перепишем правую часть, вынеся 5 за скобки:
$(x-1)\sqrt{x^2-3x-3} = 5(x-1)$
Перенесем все члены в левую часть:
$(x-1)\sqrt{x^2-3x-3} - 5(x-1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:
$(x-1)(\sqrt{x^2-3x-3} - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x-1 = 0 \implies x=1$.
Необходимо проверить, принадлежит ли этот корень области определения уравнения. Область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x^2-3x-3 \ge 0$.
Подставим $x=1$ в это выражение: $1^2 - 3(1) - 3 = 1-3-3 = -5$.
Так как $-5 < 0$, значение $x=1$ не входит в область определения уравнения, следовательно, не является его корнем.

Случай 2: $\sqrt{x^2-3x-3} - 5 = 0$.
$\sqrt{x^2-3x-3} = 5$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2-3x-3 = 25$
$x^2-3x-28 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно -28. Корнями являются числа 7 и -4.
$x_1 = 7$, $x_2 = -4$.

Проверим, входят ли эти корни в область определения $x^2-3x-3 \ge 0$.
Для $x=7$: $7^2 - 3(7) - 3 = 49 - 21 - 3 = 25$. Так как $25 \ge 0$, корень $x=7$ является решением.
Для $x=-4$: $(-4)^2 - 3(-4) - 3 = 16 + 12 - 3 = 25$. Так как $25 \ge 0$, корень $x=-4$ является решением.

Ответ: -4; 7.

14.7. Решите уравнение:

1) $\sqrt{1+x\sqrt{x^2+24}} = x+1;$

2) $\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}} = x-1.$

1) $\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 24}} = x + 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Выражение под внутренним корнем $x^2 + 24$ всегда положительно при любом $x$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 + x\sqrt{x^2 + 24} = (x + 1)^2$

$1 + x\sqrt{x^2 + 24} = x^2 + 2x + 1$

Вычтем 1 из обеих частей:

$x\sqrt{x^2 + 24} = x^2 + 2x$

$x\sqrt{x^2 + 24} = x(x + 2)$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем:

а) $x = 0$. Подставим это значение в исходное уравнение для проверки: $\sqrt{1 + 0 \cdot \sqrt{0^2 + 24}} = 0 + 1 \Rightarrow \sqrt{1} = 1$, что является верным равенством. Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \ge -1$), значит, является решением.

б) $x \ne 0$. В этом случае можно разделить обе части уравнения $x\sqrt{x^2 + 24} = x(x + 2)$ на $x$:

$\sqrt{x^2 + 24} = x + 2$

Здесь также правая часть должна быть неотрицательной: $x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$. С учетом первоначального условия $x \ge -1$, это ограничение выполняется. Снова возводим в квадрат:

$x^2 + 24 = (x + 2)^2$

$x^2 + 24 = x^2 + 4x + 4$

$20 = 4x$

$x = 5$

Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge -1$). Проверим его в исходном уравнении:

Левая часть: $\sqrt{1 + 5\sqrt{5^2 + 24}} = \sqrt{1 + 5\sqrt{49}} = \sqrt{1 + 5 \cdot 7} = \sqrt{36} = 6$.

Правая часть: $x + 1 = 5 + 1 = 6$.

Так как $6 = 6$, равенство верное, и $x=5$ также является решением.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 0; 5.

2) $\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}} = x - 1$

Определим ОДЗ. Во-первых, выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 24 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 24$, что означает $x \in (-\infty; -2\sqrt{6}] \cup [2\sqrt{6}; +\infty)$. Во-вторых, правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Объединив эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2\sqrt{6}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 + x\sqrt{x^2 - 24} = (x - 1)^2$

$1 + x\sqrt{x^2 - 24} = x^2 - 2x + 1$

$x\sqrt{x^2 - 24} = x^2 - 2x$

$x\sqrt{x^2 - 24} = x(x - 2)$

Так как из ОДЗ следует, что $x \ge 2\sqrt{6} > 0$, мы можем разделить обе части на $x$:

$\sqrt{x^2 - 24} = x - 2$

Проверим неотрицательность правой части: $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Это условие выполняется, так как наше ОДЗ $x \ge 2\sqrt{6}$ (где $2\sqrt{6} \approx 4.9$) является более строгим.

Возведем в квадрат еще раз:

$x^2 - 24 = (x - 2)^2$

$x^2 - 24 = x^2 - 4x + 4$

$-24 = -4x + 4$

$4x = 28$

$x = 7$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=7$ ОДЗ ($x \ge 2\sqrt{6}$).

$7 \ge 2\sqrt{6} \Leftrightarrow 49 \ge 4 \cdot 6 \Leftrightarrow 49 \ge 24$. Это верно. Следовательно, $x=7$ является решением.

Ответ: 7.

14.8. Решите уравнение:

1) $\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2;$

2) $\sqrt{x - 5} - \sqrt{9 - x} = 1;$

3) $\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1;$

4) $2\sqrt{2 - x} - \sqrt{7 - x} = 1.$

1)

Исходное уравнение: $\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 22 - x \ge 0 \\ 10 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 22 \\ x \le 10 \end{cases} \implies x \le 10$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от него возведением в квадрат:

$\sqrt{22 - x} = 2 + \sqrt{10 - x}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{22 - x})^2 = (2 + \sqrt{10 - x})^2$

$22 - x = 4 + 4\sqrt{10 - x} + (10 - x)$

$22 - x = 14 - x + 4\sqrt{10 - x}$.

Упростим уравнение, уединив оставшийся корень:

$22 - 14 = 4\sqrt{10 - x}$

$8 = 4\sqrt{10 - x}$

$2 = \sqrt{10 - x}$.

Еще раз возведем обе части в квадрат:

$2^2 = (\sqrt{10 - x})^2$

$4 = 10 - x$.

Отсюда находим $x$:

$x = 10 - 4 = 6$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \le 10$). Корень $x=6$ удовлетворяет этому условию. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{22 - 6} - \sqrt{10 - 6} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.

$2 = 2$. Верно.

Ответ: 6

2)

Исходное уравнение: $\sqrt{x - 5} - \sqrt{9 - x} = 1$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ 9 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 9 \end{cases} \implies 5 \le x \le 9$.

Перенесем один из корней в правую часть:

$\sqrt{x - 5} = 1 + \sqrt{9 - x}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x - 5})^2 = (1 + \sqrt{9 - x})^2$

$x - 5 = 1 + 2\sqrt{9 - x} + (9 - x)$

$x - 5 = 10 - x + 2\sqrt{9 - x}$.

Уединим корень:

$x - 5 - 10 + x = 2\sqrt{9 - x}$

$2x - 15 = 2\sqrt{9 - x}$.

Для возведения в квадрат необходимо, чтобы левая часть была неотрицательной: $2x - 15 \ge 0$, откуда $x \ge 7.5$. С учетом ОДЗ получаем $7.5 \le x \le 9$.

Возводим в квадрат:

$(2x - 15)^2 = (2\sqrt{9 - x})^2$

$4x^2 - 60x + 225 = 4(9 - x)$

$4x^2 - 60x + 225 = 36 - 4x$.

Получаем квадратное уравнение:

$4x^2 - 56x + 189 = 0$.

Решаем его через дискриминант: $D = (-56)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 189 = 3136 - 3024 = 112$.

Корни уравнения: $x = \frac{56 \pm \sqrt{112}}{8} = \frac{56 \pm 4\sqrt{7}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{7}}{2}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{14 + \sqrt{7}}{2}$ и $x_2 = \frac{14 - \sqrt{7}}{2}$.

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 7.5$.

Так как $2 < \sqrt{7} < 3$, то $x_1 = \frac{14 + \sqrt{7}}{2} > \frac{14 + 2}{2} = 8$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 7.5$.

$x_2 = \frac{14 - \sqrt{7}}{2} < \frac{14 - 2}{2} = 6$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 7.5$, значит, он посторонний.

Ответ: $\frac{14 + \sqrt{7}}{2}$

3)

Исходное уравнение: $\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x + 3 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1.5 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies x \ge -1$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{2x + 3} = 1 + \sqrt{x + 1}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x + 3})^2 = (1 + \sqrt{x + 1})^2$

$2x + 3 = 1 + 2\sqrt{x + 1} + (x + 1)$

$2x + 3 = x + 2 + 2\sqrt{x + 1}$.

Уединим корень:

$2x + 3 - x - 2 = 2\sqrt{x + 1}$

$x + 1 = 2\sqrt{x + 1}$.

Возведем обе части в квадрат. Заметим, что условие $x + 1 \ge 0$ уже учтено в ОДЗ.

$(x + 1)^2 = (2\sqrt{x + 1})^2$

$(x + 1)^2 = 4(x + 1)$.

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:

$(x + 1)^2 - 4(x + 1) = 0$

$(x + 1)(x + 1 - 4) = 0$

$(x + 1)(x - 3) = 0$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -1$). Проверим их подстановкой в исходное уравнение.

При $x = -1$: $\sqrt{2(-1) + 3} - \sqrt{-1 + 1} = \sqrt{1} - \sqrt{0} = 1$. Верно.

При $x = 3$: $\sqrt{2(3) + 3} - \sqrt{3 + 1} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$. Верно.

Ответ: -1; 3

4)

Исходное уравнение: $2\sqrt{2 - x} - \sqrt{7 - x} = 1$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2 - x \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 2 \\ x \le 7 \end{cases} \implies x \le 2$.

Перенесем один из членов в правую часть:

$2\sqrt{2 - x} = 1 + \sqrt{7 - x}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{2 - x})^2 = (1 + \sqrt{7 - x})^2$

$4(2 - x) = 1 + 2\sqrt{7 - x} + (7 - x)$

$8 - 4x = 8 - x + 2\sqrt{7 - x}$.

Уединим корень:

$8 - 4x - 8 + x = 2\sqrt{7 - x}$

$-3x = 2\sqrt{7 - x}$.

Для возведения в квадрат необходимо, чтобы левая часть была неотрицательной: $-3x \ge 0$, откуда $x \le 0$. С учетом ОДЗ получаем $x \le 0$.

Возводим в квадрат:

$(-3x)^2 = (2\sqrt{7 - x})^2$

$9x^2 = 4(7 - x)$

$9x^2 = 28 - 4x$.

Получаем квадратное уравнение:

$9x^2 + 4x - 28 = 0$.

Решаем его через дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-28) = 16 + 1008 = 1024 = 32^2$.

Корни уравнения: $x = \frac{-4 \pm 32}{18}$.

$x_1 = \frac{-4 + 32}{18} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}$.

$x_2 = \frac{-4 - 32}{18} = \frac{-36}{18} = -2$.

Проверим корни на соответствие условию $x \le 0$.

Корень $x_1 = \frac{14}{9}$ не удовлетворяет условию $x \le 0$, значит, он посторонний.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию $x \le 0$. Проверим его подстановкой в исходное уравнение:

$2\sqrt{2 - (-2)} - \sqrt{7 - (-2)} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Верно.

Ответ: -2

14.9. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x+5} - \sqrt{3x-5} = 2$;

2) $\sqrt{x+11} - \sqrt{2x+1} = 2$.

1) $ \sqrt{2x+5} - \sqrt{3x-5} = 2 $

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} 2x+5 \ge 0 \\ 3x-5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \ge -5 \\ 3x \ge 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2.5 \\ x \ge \frac{5}{3} \end{cases} $

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $ x \ge \frac{5}{3} $.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения для удобства возведения в квадрат:

$ \sqrt{2x+5} = 2 + \sqrt{3x-5} $

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{2x+5})^2 = (2 + \sqrt{3x-5})^2 $

$ 2x+5 = 4 + 4\sqrt{3x-5} + (3x-5) $

Упростим полученное выражение:

$ 2x+5 = 3x - 1 + 4\sqrt{3x-5} $

Изолируем оставшийся радикал в одной части уравнения:

$ 4\sqrt{3x-5} = 2x+5 - (3x-1) $

$ 4\sqrt{3x-5} = 6 - x $

Левая часть уравнения ($4\sqrt{3x-5}$) всегда неотрицательна, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной. Это дает нам дополнительное условие:

$ 6 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 6 $

С учетом ОДЗ, корень уравнения должен лежать в промежутке $ [\frac{5}{3}, 6] $.

Снова возведем обе части уравнения $ 4\sqrt{3x-5} = 6 - x $ в квадрат:

$ (4\sqrt{3x-5})^2 = (6-x)^2 $

$ 16(3x-5) = 36 - 12x + x^2 $

$ 48x - 80 = 36 - 12x + x^2 $

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ ax^2+bx+c=0 $:

$ x^2 - 12x - 48x + 36 + 80 = 0 $

$ x^2 - 60x + 116 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 116 = 3600 - 464 = 3136 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56 $

Находим корни:

$ x_1 = \frac{60 + 56}{2} = \frac{116}{2} = 58 $

$ x_2 = \frac{60 - 56}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

Проверим, соответствуют ли найденные корни условию $ x \in [\frac{5}{3}, 6] $.

Корень $ x_1 = 58 $ не удовлетворяет условию $ x \le 6 $, значит, это посторонний корень.

Корень $ x_2 = 2 $ удовлетворяет условию $ \frac{5}{3} \le 2 \le 6 $.

Проверим найденный корень $ x=2 $ подстановкой в исходное уравнение:

$ \sqrt{2(2)+5} - \sqrt{3(2)-5} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1 = 2 $

$ 2=2 $ (верно).

Ответ: $2$

2) $ \sqrt{x+11} - \sqrt{2x+1} = 2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x+11 \ge 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -11 \\ 2x \ge -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -11 \\ x \ge -0.5 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $ x \ge -0.5 $.

Перенесем один из корней в правую часть:

$ \sqrt{x+11} = 2 + \sqrt{2x+1} $

Возведем обе части в квадрат:

$ (\sqrt{x+11})^2 = (2 + \sqrt{2x+1})^2 $

$ x+11 = 4 + 4\sqrt{2x+1} + (2x+1) $

Упростим:

$ x+11 = 2x + 5 + 4\sqrt{2x+1} $

Изолируем корень:

$ 4\sqrt{2x+1} = x+11 - 2x - 5 $

$ 4\sqrt{2x+1} = 6 - x $

Правая часть должна быть неотрицательной, так как левая часть неотрицательна:

$ 6 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 6 $

С учетом ОДЗ, решение должно находиться в промежутке $ [-0.5, 6] $.

Снова возведем обе части в квадрат:

$ (4\sqrt{2x+1})^2 = (6-x)^2 $

$ 16(2x+1) = 36 - 12x + x^2 $

$ 32x + 16 = 36 - 12x + x^2 $

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$ x^2 - 44x + 20 = 0 $

Решим уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = (-44)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1936 - 80 = 1856 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{1856} = \sqrt{64 \cdot 29} = 8\sqrt{29} $

Найдем корни:

$ x = \frac{44 \pm 8\sqrt{29}}{2} = 22 \pm 4\sqrt{29} $

Получаем два корня: $ x_1 = 22 + 4\sqrt{29} $ и $ x_2 = 22 - 4\sqrt{29} $.

Проверим корни на соответствие условию $ x \in [-0.5, 6] $.

Оценим значение $ \sqrt{29} $: $ 5^2=25 $, $ 6^2=36 $, значит $ 5 < \sqrt{29} < 6 $.

Для $ x_1 = 22 + 4\sqrt{29} $: $ x_1 > 22 + 4 \cdot 5 = 42 $. Этот корень очевидно больше 6, поэтому он является посторонним.

Для $ x_2 = 22 - 4\sqrt{29} $: Проверим верхнюю границу: $ 22 - 4\sqrt{29} \le 6 \Leftrightarrow 16 \le 4\sqrt{29} \Leftrightarrow 4 \le \sqrt{29} $. Это верно, так как $ 16 \le 29 $. Проверим нижнюю границу: $ 22 - 4\sqrt{29} \ge -0.5 \Leftrightarrow 22.5 \ge 4\sqrt{29} \Leftrightarrow \frac{45}{8} \ge \sqrt{29} $. Возведем в квадрат: $ (\frac{45}{8})^2 = \frac{2025}{64} = 31.640625 $. Неравенство $ 31.640625 \ge 29 $ верно.

Следовательно, корень $ x_2 = 22 - 4\sqrt{29} $ удовлетворяет всем условиям и является решением уравнения.

Ответ: $22 - 4\sqrt{29}$