Номер 14.1, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.1. Решите уравнение:

1) $\sqrt[7]{2x - 1} = \sqrt[7]{3 - x}$;

2) $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{1 - 2x}$;

3) $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x - 3}$;

4) $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x^2 + 4x - 16}$.

1) Дано уравнение $\sqrt[7]{2x - 1} = \sqrt[7]{3 - x}$.

Поскольку корень нечетной степени (седьмой), область определения не имеет ограничений для подкоренных выражений. Мы можем возвести обе части уравнения в седьмую степень, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt[7]{2x - 1})^7 = (\sqrt[7]{3 - x})^7$

$2x - 1 = 3 - x$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$2x + x = 3 + 1$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) Дано уравнение $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{1 - 2x}$.

Поскольку корень четной степени (квадратный), подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ 1 - 2x \ge 0 \end{cases}$

Решим ее:

$\begin{cases} 2x \ge 1 \\ 1 \ge 2x \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x \le \frac{1}{2} \end{cases}$

Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим неравенствам, это $x = \frac{1}{2}$.

Проверим, является ли $x = \frac{1}{2}$ решением исходного уравнения, подставив это значение:

$\sqrt{2(\frac{1}{2}) - 1} = \sqrt{1 - 2(\frac{1}{2})}$

$\sqrt{1 - 1} = \sqrt{1 - 1}$

$\sqrt{0} = \sqrt{0}$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, $x = \frac{1}{2}$ является решением.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Дано уравнение $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x - 3}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:

$\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x \ge 3 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 3$.

Теперь решим само уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x - 1})^2 = (\sqrt{x - 3})^2$

$2x - 1 = x - 3$

$2x - x = -3 + 1$

$x = -2$

Полученное значение $x = -2$ не удовлетворяет условию ОДЗ ($x \ge 3$). Следовательно, это посторонний корень, и уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

4) Дано уравнение $\sqrt{2x - 1} = \sqrt{x^2 + 4x - 16}$.

Данное уравнение равносильно системе, в которой мы приравниваем подкоренные выражения и требуем, чтобы одно из них (а значит, и второе) было неотрицательным.

$\begin{cases} 2x - 1 = x^2 + 4x - 16 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение:

$x^2 + 4x - 2x - 16 + 1 = 0$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -15$

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни неравенству $2x - 1 \ge 0$.

Для $x_1 = 3$:

$2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 \ge 0$. Неравенство выполняется, значит, $x=3$ является корнем исходного уравнения.

Для $x_2 = -5$:

$2(-5) - 1 = -10 - 1 = -11$. Так как $-11 < 0$, неравенство не выполняется, значит, $x=-5$ — посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $3$.