Номер 14.6, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.6. Решите уравнение:

1) $\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1$;

2) $(x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5x - 5$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{(3x-1)(4x+3)} = 3x-1$.

Данное уравнение имеет вид $\sqrt{f(x)} = g(x)$. Такое уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $

В нашем случае $f(x) = (3x-1)(4x+3)$ и $g(x) = 3x-1$. Получаем систему:
$ \begin{cases} 3x-1 \ge 0 \\ (3x-1)(4x+3) = (3x-1)^2 \end{cases} $

1. Решим неравенство:
$3x-1 \ge 0$
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$

2. Решим уравнение:
$(3x-1)(4x+3) = (3x-1)^2$
Перенесем все члены в одну сторону:
$(3x-1)(4x+3) - (3x-1)^2 = 0$
Вынесем общий множитель $(3x-1)$ за скобки:
$(3x-1) \cdot ((4x+3) - (3x-1)) = 0$
$(3x-1)(4x+3-3x+1) = 0$
$(3x-1)(x+4) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$3x-1=0$ или $x+4=0$
$x_1 = \frac{1}{3}$
$x_2 = -4$

3. Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge \frac{1}{3}$:
Для $x_1 = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} \ge \frac{1}{3}$. Условие выполняется, значит, $x = \frac{1}{3}$ является корнем уравнения.
Для $x_2 = -4$: $-4 \ge \frac{1}{3}$. Условие не выполняется, значит, $x = -4$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Исходное уравнение: $(x-1)\sqrt{x^2-3x-3} = 5x-5$.

Перепишем правую часть, вынеся 5 за скобки:
$(x-1)\sqrt{x^2-3x-3} = 5(x-1)$
Перенесем все члены в левую часть:
$(x-1)\sqrt{x^2-3x-3} - 5(x-1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:
$(x-1)(\sqrt{x^2-3x-3} - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x-1 = 0 \implies x=1$.
Необходимо проверить, принадлежит ли этот корень области определения уравнения. Область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x^2-3x-3 \ge 0$.
Подставим $x=1$ в это выражение: $1^2 - 3(1) - 3 = 1-3-3 = -5$.
Так как $-5 < 0$, значение $x=1$ не входит в область определения уравнения, следовательно, не является его корнем.

Случай 2: $\sqrt{x^2-3x-3} - 5 = 0$.
$\sqrt{x^2-3x-3} = 5$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2-3x-3 = 25$
$x^2-3x-28 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно -28. Корнями являются числа 7 и -4.
$x_1 = 7$, $x_2 = -4$.

Проверим, входят ли эти корни в область определения $x^2-3x-3 \ge 0$.
Для $x=7$: $7^2 - 3(7) - 3 = 49 - 21 - 3 = 25$. Так как $25 \ge 0$, корень $x=7$ является решением.
Для $x=-4$: $(-4)^2 - 3(-4) - 3 = 16 + 12 - 3 = 25$. Так как $25 \ge 0$, корень $x=-4$ является решением.

Ответ: -4; 7.