Номер 16.13, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.13. Решите неравенство $\sqrt{x+3} + \sqrt[3]{x^3+x+6} \ge 4$.

Для решения неравенства $\sqrt{x+3} + \sqrt[3]{x^3+x+6} \ge 4$ воспользуемся методом анализа функции.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x+3 \ge 0$

$x \ge -3$

Выражение под знаком кубического корня определено для любого действительного числа. Следовательно, ОДЗ неравенства: $x \in [-3, +\infty)$.

2. Исследуем функцию и решим неравенство.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x+3} + \sqrt[3]{x^3+x+6}$. Исходное неравенство можно записать в виде $f(x) \ge 4$.

Сначала найдем значение $x$, при котором достигается равенство $f(x) = 4$. Методом подбора легко заметить, что при $x=1$ равенство выполняется:

$f(1) = \sqrt{1+3} + \sqrt[3]{1^3+1+6} = \sqrt{4} + \sqrt[3]{8} = 2 + 2 = 4$.

Теперь исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Она является суммой двух функций: $g(x) = \sqrt{x+3}$ и $h(x) = \sqrt[3]{x^3+x+6}$.

Функция $g(x) = \sqrt{x+3}$ является строго возрастающей на своей области определения как композиция двух возрастающих функций ($y=\sqrt{t}$ и $t=x+3$).

Рассмотрим функцию $h(x) = \sqrt[3]{x^3+x+6}$. Функция $y=\sqrt[3]{t}$ является строго возрастающей. Внутренняя функция $p(x)=x^3+x+6$ также является строго возрастающей, поскольку ее производная $p'(x) = 3x^2+1$ положительна при всех значениях $x$ ($3x^2 \ge 0 \Rightarrow 3x^2+1 \ge 1 > 0$). Следовательно, $h(x)$ как композиция двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей.

Сумма двух строго возрастающих функций $g(x)$ и $h(x)$ есть строго возрастающая функция $f(x)$ на всей области определения $x \ge -3$.

Так как функция $f(x)$ строго возрастает и $f(1)=4$, то:

• при $x > 1$ будет выполняться $f(x) > f(1)$, то есть $f(x) > 4$;
• при $x < 1$ будет выполняться $f(x) < f(1)$, то есть $f(x) < 4$.

Неравенство $f(x) \ge 4$ выполняется при $x=1$ (когда $f(x)=4$) и при $x > 1$ (когда $f(x)>4$). Объединяя эти случаи, получаем решение $x \ge 1$.

Это множество ($x \ge 1$) полностью входит в ОДЗ ($x \ge -3$).

Ответ: $[1, +\infty)$.