Номер 16.16, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.16. При каких значениях параметра $a$ множеством решений неравенства

$\sqrt{1 - x^2} \ge \frac{4}{3}(x - a)$ является промежуток длиной $\frac{9}{5}$?

Рассмотрим неравенство $\sqrt{1-x^2} \ge \frac{4}{3}(x-a)$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1-x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 1$.
Следовательно, ОДЗ для $x$ является промежуток $[-1, 1]$.

2. Геометрическая интерпретация.

Рассмотрим две функции: $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ и $g(x) = \frac{4}{3}(x-a)$.
График функции $y=f(x)$ — это верхняя половина окружности с центром в точке $(0,0)$ и радиусом 1.
График функции $y=g(x)$ — это семейство прямых с угловым коэффициентом $k=\frac{4}{3}$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой по горизонтали; при $x=a$ прямая пересекает ось абсцисс.

Решить неравенство — значит найти все значения $x$ из отрезка $[-1, 1]$, при которых график функции $f(x)$ находится не ниже графика функции $g(x)$.

3. Анализ множества решений.

Функция $\phi(x) = \sqrt{1-x^2} - \frac{4}{3}(x-a)$ является вогнутой на всей области определения $[-1, 1]$. Следовательно, множество решений неравенства $\phi(x) \ge 0$ представляет собой один непрерывный промежуток (отрезок).

По условию, длина этого промежутка равна $\frac{9}{5}$. Обозначим этот промежуток как $[x_1, x_2]$. Тогда $x_2 - x_1 = \frac{9}{5}$.
Концы этого промежутка, $x_1$ и $x_2$, могут быть либо концами ОДЗ ($-1$ или $1$), либо точками пересечения графиков $f(x)$ и $g(x)$.

Точки пересечения находятся из уравнения $\sqrt{1-x^2} = \frac{4}{3}(x-a)$.
Возведем обе части в квадрат (при условии $x-a \ge 0$):
$1-x^2 = \frac{16}{9}(x-a)^2$
$9(1-x^2) = 16(x^2 - 2ax + a^2)$
$9 - 9x^2 = 16x^2 - 32ax + 16a^2$
$25x^2 - 32ax + 16a^2 - 9 = 0$

Рассмотрим возможные варианты для промежутка решений $[x_1, x_2]$.

Случай 1: Промежуток решений определяется только точками пересечения, то есть $[x_1, x_2] = [x_A, x_B]$, где $x_A$ и $x_B$ — корни квадратного уравнения, и при этом $[-1, 1]$ полностью содержит этот промежуток. Длина $x_B - x_A = \frac{9}{5}$.
$x_B - x_A = \frac{\sqrt{D}}{25}$, где $D = (32a)^2 - 4 \cdot 25 (16a^2-9) = 900 - 576a^2$.
$\frac{\sqrt{900-576a^2}}{25} = \frac{9}{5} \implies \sqrt{900-576a^2} = 45$.
$900 - 576a^2 = 2025 \implies -576a^2 = 1125 \implies a^2 = -\frac{1125}{576}$.
Это уравнение не имеет действительных решений для $a$. Значит, этот случай невозможен.

Случай 2: Один из концов промежутка решений совпадает с концом ОДЗ.

Подслучай 2а: Левый конец промежутка решений $x_1 = -1$.
Тогда правый конец $x_2 = x_1 + \frac{9}{5} = -1 + \frac{9}{5} = \frac{4}{5}$.
Промежуток решений: $[-1, \frac{4}{5}]$.
Это означает, что в точке $x = \frac{4}{5}$ неравенство обращается в равенство:
$\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{4}{3}(\frac{4}{5} - a)$
$\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{4}{3}(\frac{4}{5} - a)$
$\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{4}{3}(\frac{4}{5} - a)$
$\frac{3}{5} = \frac{4}{3}(\frac{4}{5} - a)$
$\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{4}{5} - a$
$\frac{9}{20} = \frac{4}{5} - a$
$a = \frac{4}{5} - \frac{9}{20} = \frac{16-9}{20} = \frac{7}{20}$.

Проверим, действительно ли при $a = \frac{7}{20}$ множеством решений является промежуток $[-1, \frac{4}{5}]$.
Неравенство: $\sqrt{1-x^2} \ge \frac{4}{3}(x - \frac{7}{20})$.
- Если $x < \frac{7}{20}$, правая часть отрицательна, а левая неотрицательна. Неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ, удовлетворяющих этому условию, т.е. для $x \in [-1, \frac{7}{20})$.
- Если $x \ge \frac{7}{20}$, обе части неотрицательны. Можно возвести в квадрат. Решениями квадратного неравенства $25x^2 - 32ax + 16a^2 - 9 \le 0$ является отрезок между его корнями. При $a = \frac{7}{20}$ корни уравнения $25x^2 - 32(\frac{7}{20})x + 16(\frac{7}{20})^2 - 9 = 0$ это $x_A = -\frac{44}{125}$ и $x_B = \frac{4}{5}$. Решениями неравенства являются $x \in [-\frac{44}{125}, \frac{4}{5}]$. Учитывая условие $x \ge \frac{7}{20}$, получаем $x \in [\frac{7}{20}, \frac{4}{5}]$.
Объединяя решения для обоих случаев, получаем множество $[-1, \frac{7}{20}) \cup [\frac{7}{20}, \frac{4}{5}] = [-1, \frac{4}{5}]$.
Длина этого промежутка равна $\frac{4}{5} - (-1) = \frac{9}{5}$.
Следовательно, значение $a=\frac{7}{20}$ подходит.

Подслучай 2б: Правый конец промежутка решений $x_2 = 1$.
Тогда левый конец $x_1 = x_2 - \frac{9}{5} = 1 - \frac{9}{5} = -\frac{4}{5}$.
Промежуток решений: $[-\frac{4}{5}, 1]$.
Это означает, что в точке $x = -\frac{4}{5}$ неравенство обращается в равенство:
$\sqrt{1 - (-\frac{4}{5})^2} = \frac{4}{3}(-\frac{4}{5} - a)$
$\frac{3}{5} = \frac{4}{3}(-\frac{4}{5} - a)$
$\frac{9}{20} = -\frac{4}{5} - a$
$a = -\frac{4}{5} - \frac{9}{20} = -\frac{16+9}{20} = -\frac{25}{20} = -\frac{5}{4}$.

Проверим значение $a = -\frac{5}{4}$.
При $a = -\frac{5}{4}$ прямая $y = \frac{4}{3}(x + \frac{5}{4})$ является касательной к окружности $x^2+y^2=1$. Точка касания имеет координату $x = -\frac{4}{5}$. В этой точке неравенство обращается в равенство. Во всех остальных точках $x \in [-1, 1]$ прямая проходит выше верхней полуокружности, то есть $\sqrt{1-x^2} < \frac{4}{3}(x+\frac{5}{4})$.
Таким образом, при $a = -\frac{5}{4}$ решением является единственная точка $x=-\frac{4}{5}$. Длина этого множества равна 0, а не $\frac{9}{5}$. Это значение не подходит.

Другой корень уравнения для $a$ в этом подслучае ($a = -\frac{7}{20}$) также не подходит, так как при его проверке множество решений не совпадает с $[-\frac{4}{5}, 1]$.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра $a$ было найдено в подслучае 2а.

Ответ: $a = \frac{7}{20}$.