Номер 16.15, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.15. При каких значениях параметра $a$ множеством решений неравенства $\sqrt{1 - (x + 2a)^2} \ge \frac{4}{3}x$ является промежуток длиной $\frac{9}{5}$?

Для решения задачи рассмотрим графическую интерпретацию неравенства.

Пусть $y = \sqrt{1 - (x + 2a)^2}$. Это уравнение задает верхнюю половину окружности с центром в точке $C(-2a, 0)$ и радиусом $R=1$. Уравнение окружности: $(x + 2a)^2 + y^2 = 1$.

Неравенство принимает вид $y \ge \frac{4}{3}x$. Это означает, что мы ищем такие значения $x$, для которых точки верхней полуокружности лежат не ниже точек прямой $y = \frac{4}{3}x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется из условия $1 - (x + 2a)^2 \ge 0$, что равносильно $(x + 2a)^2 \le 1$, или $-1 \le x + 2a \le 1$. Отсюда получаем ОДЗ: $x \in [-1 - 2a, 1 - 2a]$.

Для удобства введем новую переменную $u = x + 2a$. Тогда $x = u - 2a$. Окружность в координатах $(u, y)$ имеет уравнение $u^2 + y^2 = 1$ (верхняя полуокружность $y = \sqrt{1-u^2}$). Прямая в новых координатах: $y = \frac{4}{3}(u - 2a)$. ОДЗ для $u$: $u \in [-1, 1]$.

Неравенство в новых координатах: $\sqrt{1 - u^2} \ge \frac{4}{3}(u - 2a)$.

Множество решений для $x$ является промежутком длиной $\frac{9}{5}$. Поскольку $x$ и $u$ связаны линейной зависимостью $u = x + 2a$ (сдвиг), то длина промежутка решений для $u$ также будет равна $\frac{9}{5}$.

Найдем точки пересечения полуокружности $y = \sqrt{1-u^2}$ и прямой $y = \frac{4}{3}(u - 2a)$. Для этого решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y^2 = 1 - u^2 \\ y = \frac{4}{3}(u - 2a) \end{cases} $$ Подставив второе уравнение в первое, получаем: $$ \left(\frac{4}{3}(u - 2a)\right)^2 = 1 - u^2 $$ $$ \frac{16}{9}(u^2 - 4au + 4a^2) = 1 - u^2 $$ $$ 16u^2 - 64au + 64a^2 = 9 - 9u^2 $$ $$ 25u^2 - 64au + (64a^2 - 9) = 0 $$ Пусть $u_A$ и $u_B$ — корни этого квадратного уравнения, абсциссы точек пересечения.

Множество решений неравенства — это промежуток, концами которого могут быть либо точки пересечения $u_A, u_B$, либо концы области определения $u_L = -1$ и $u_R = 1$.

Случай 1: Множество решений — это промежуток $[u_A, u_B]$. Длина этого промежутка $|u_B - u_A| = \frac{\sqrt{D}}{|A|} = \frac{\sqrt{(-64a)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (64a^2 - 9)}}{25} = \frac{\sqrt{4096a^2 - 6400a^2 + 900}}{25} = \frac{\sqrt{900 - 2304a^2}}{25}$. По условию, длина равна $\frac{9}{5}$: $$ \frac{\sqrt{900 - 2304a^2}}{25} = \frac{9}{5} $$ $$ \sqrt{900 - 2304a^2} = 45 $$ $$ 900 - 2304a^2 = 2025 $$ $$ -2304a^2 = 1125 $$ Это уравнение не имеет действительных решений, так как левая часть неположительна, а правая положительна. Следовательно, этот случай невозможен.

Это означает, что один из концов промежутка решений совпадает с концом области определения $u = -1$ или $u = 1$.

Случай 2: Множество решений — это промежуток $[-1, u_B]$, где $u_B$ — одна из точек пересечения. Длина промежутка: $u_B - (-1) = \frac{9}{5}$, откуда $u_B = \frac{4}{5}$. Для этого случая необходимо, чтобы в точке $u = -1$ неравенство выполнялось. $\sqrt{1 - (-1)^2} \ge \frac{4}{3}(-1 - 2a) \implies 0 \ge \frac{4}{3}(-1 - 2a) \implies -1 - 2a \le 0 \implies a \ge -0.5$. Также необходимо, чтобы вторая точка пересечения $u_A$ была левее $-1$, то есть $u_A < -1$. Подставим $u_B = \frac{4}{5}$ в квадратное уравнение для $u$: $$ 25\left(\frac{4}{5}\right)^2 - 64a\left(\frac{4}{5}\right) + (64a^2 - 9) = 0 $$ $$ 25\left(\frac{16}{25}\right) - \frac{256}{5}a + 64a^2 - 9 = 0 $$ $$ 16 - \frac{256}{5}a + 64a^2 - 9 = 0 $$ $$ 64a^2 - \frac{256}{5}a + 7 = 0 $$ $$ 320a^2 - 256a + 35 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение относительно $a$: $D_a = (-256)^2 - 4 \cdot 320 \cdot 35 = 65536 - 44800 = 20736 = 144^2$. $a = \frac{256 \pm 144}{640}$. $a_1 = \frac{256 + 144}{640} = \frac{400}{640} = \frac{5}{8}$. $a_2 = \frac{256 - 144}{640} = \frac{112}{640} = \frac{7}{40}$. Проверим оба значения $a$. При $a = 5/8$: $a > -0.5$. По теореме Виета для уравнения $25u^2 - 64au + (64a^2 - 9) = 0$: $u_A + u_B = \frac{64a}{25}$. $u_A + \frac{4}{5} = \frac{64(5/8)}{25} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5}$. Отсюда $u_A = \frac{4}{5}$. В этом случае $u_A = u_B$, прямая касается полуокружности. Решением неравенства является вся область определения $[-1, 1]$, длина которой равна 2, а не $9/5$. Значение $a = 5/8$ не подходит. При $a = 7/40$: $a > -0.5$. $u_A + \frac{4}{5} = \frac{64(7/40)}{25} = \frac{8 \cdot 7}{5 \cdot 25} = \frac{56}{125}$. $u_A = \frac{56}{125} - \frac{4}{5} = \frac{56 - 100}{125} = -\frac{44}{125}$. Проверяем условие $u_A < -1$: $-\frac{44}{125} < -1$, что является верным. Следовательно, при $a=7/40$ множество решений для $u$ — это промежуток $[-1, 4/5]$, длина которого равна $9/5$. Это значение параметра подходит.

Случай 3: Множество решений — это промежуток $[u_A, 1]$. Длина промежутка: $1 - u_A = \frac{9}{5}$, откуда $u_A = -\frac{4}{5}$. Для этого случая необходимо, чтобы в точке $u = 1$ неравенство выполнялось. $\sqrt{1 - 1^2} \ge \frac{4}{3}(1 - 2a) \implies 0 \ge \frac{4}{3}(1 - 2a) \implies 1 - 2a \le 0 \implies a \ge 0.5$. Подставим $u_A = -4/5$ в квадратное уравнение: $$ 25\left(-\frac{4}{5}\right)^2 - 64a\left(-\frac{4}{5}\right) + (64a^2 - 9) = 0 $$ $$ 16 + \frac{256}{5}a + 64a^2 - 9 = 0 $$ $$ 320a^2 + 256a + 35 = 0 $$ $a = \frac{-256 \pm 144}{640}$. $a_1 = \frac{-256 + 144}{640} = \frac{-112}{640} = -\frac{7}{40}$. $a_2 = \frac{-256 - 144}{640} = \frac{-400}{640} = -\frac{5}{8}$. Оба найденных значения не удовлетворяют условию $a \ge 0.5$, поэтому в этом случае решений нет.

Единственным подходящим значением является $a = 7/40$.

Ответ: $a = \frac{7}{40}$.