Номер 26.18, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.18. Докажите тождество:

1) $1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4\cos^2\alpha \cos 2\alpha;$

2) $\frac{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha} = \text{tg} \alpha;$

3) $\frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^2\alpha - 4}{1 - 8\sin^2\alpha - \cos 4\alpha} = \frac{1}{2}\text{ctg}^4\alpha;$

4) $\frac{\cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha\right)}{(1 + \cos 2\alpha)(1 + \cos 4\alpha)} = \text{tg} \alpha;$

5) $\frac{\cos 4\alpha + 1}{\text{ctg} \alpha - \text{tg} \alpha} = \frac{1}{2}\sin 4\alpha;$

6) $\frac{2\cos 2\alpha - \sin 4\alpha}{2\cos 2\alpha + \sin 4\alpha} = \text{tg}^2(45^\circ - \alpha).$

1) Докажем тождество $1 + 2\cos2\alpha + \cos4\alpha = 4\cos^2\alpha\cos2\alpha$.
Преобразуем левую часть равенства. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$, применив её для $\cos4\alpha$:
$1 + 2\cos2\alpha + \cos4\alpha = 1 + 2\cos2\alpha + (2\cos^2(2\alpha) - 1) = 2\cos2\alpha + 2\cos^2(2\alpha)$.
Вынесем общий множитель $2\cos2\alpha$ за скобки:
$2\cos2\alpha(1 + \cos2\alpha)$.
Теперь воспользуемся формулой $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$ (формула понижения степени):
$2\cos2\alpha(2\cos^2\alpha) = 4\cos^2\alpha\cos2\alpha$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{1 + \sin2\alpha - \cos2\alpha}{1 + \sin2\alpha + \cos2\alpha} = \text{tg}\alpha$.
Преобразуем числитель и знаменатель левой части, используя формулы двойного угла: $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$ и $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$.
Числитель: $1 - \cos2\alpha + \sin2\alpha = 2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)$.
Знаменатель: $1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha = 2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)$.
Подставим преобразованные выражения в дробь и сократим:
$\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{\sin^22\alpha + 4\sin^2\alpha - 4}{1 - 8\sin^2\alpha - \cos4\alpha} = \frac{1}{2}\text{ctg}^4\alpha$.
Преобразуем числитель:
$\sin^22\alpha + 4\sin^2\alpha - 4 = (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 + 4(\sin^2\alpha - 1) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1) = 4\cos^2\alpha(-\cos^2\alpha) = -4\cos^4\alpha$.
Преобразуем знаменатель, используя $\cos4\alpha = 1 - 2\sin^2(2\alpha)$:
$1 - 8\sin^2\alpha - \cos4\alpha = 1 - 8\sin^2\alpha - (1 - 2\sin^2(2\alpha)) = 2\sin^2(2\alpha) - 8\sin^2\alpha = 2(2\sin\alpha\cos\alpha)^2 - 8\sin^2\alpha = 8\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 8\sin^2\alpha = 8\sin^2\alpha(\cos^2\alpha - 1) = 8\sin^2\alpha(-\sin^2\alpha) = -8\sin^4\alpha$.
Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:
$\frac{-4\cos^4\alpha}{-8\sin^4\alpha} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^4\alpha}{\sin^4\alpha} = \frac{1}{2}\text{ctg}^4\alpha$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $\frac{\cos(4\alpha - \frac{\pi}{2})\sin(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha)}{(1+\cos2\alpha)(1+\cos4\alpha)} = \text{tg}\alpha$.
Сначала упростим числитель, используя формулы приведения:
$\cos(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - 4\alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) = \sin(4\alpha)$.
$\sin(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos(2\alpha)$.
Таким образом, числитель равен $\sin(4\alpha)\cos(2\alpha)$.
Теперь упростим знаменатель, используя формулу $1+\cos(2x) = 2\cos^2x$ дважды:
$(1+\cos2\alpha)(1+\cos4\alpha) = (2\cos^2\alpha)(2\cos^2(2\alpha)) = 4\cos^2\alpha\cos^2(2\alpha)$.
Подставим упрощенные части в дробь:
$\frac{\sin(4\alpha)\cos(2\alpha)}{4\cos^2\alpha\cos^2(2\alpha)} = \frac{\sin(4\alpha)}{4\cos^2\alpha\cos(2\alpha)}$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$:
$\frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{4\cos^2\alpha\cos(2\alpha)} = \frac{2\sin(2\alpha)}{4\cos^2\alpha} = \frac{\sin(2\alpha)}{2\cos^2\alpha}$.
Снова применим формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

5) Докажем тождество $\frac{\cos4\alpha + 1}{\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha} = \frac{1}{2}\sin4\alpha$.
Преобразуем числитель, используя формулу $1+\cos(2x) = 2\cos^2x$:
$\cos4\alpha + 1 = 2\cos^2(2\alpha)$.
Преобразуем знаменатель, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус:
$\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos2\alpha}{\frac{1}{2}(2\sin\alpha\cos\alpha)} = \frac{\cos2\alpha}{\frac{1}{2}\sin2\alpha} = \frac{2\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$.
Подставим преобразованные части в исходную дробь:
$\frac{2\cos^2(2\alpha)}{\frac{2\cos2\alpha}{\sin2\alpha}} = 2\cos^2(2\alpha) \cdot \frac{\sin2\alpha}{2\cos2\alpha} = \cos(2\alpha)\sin(2\alpha)$.
Используя формулу синуса двойного угла в обратном порядке $ \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) $, получаем:
$\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin4\alpha$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

6) Докажем тождество $\frac{2\cos2\alpha - \sin4\alpha}{2\cos2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2(45^\circ - \alpha)$.
Преобразуем левую часть, используя формулу синуса двойного угла $\sin4\alpha = 2\sin2\alpha\cos2\alpha$:
$\frac{2\cos2\alpha - 2\sin2\alpha\cos2\alpha}{2\cos2\alpha + 2\sin2\alpha\cos2\alpha} = \frac{2\cos2\alpha(1 - \sin2\alpha)}{2\cos2\alpha(1 + \sin2\alpha)} = \frac{1 - \sin2\alpha}{1 + \sin2\alpha}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ и снова формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha}{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)^2}{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2} = \left(\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha}\right)^2$.
Разделим числитель и знаменатель дроби в скобках на $\cos\alpha$ (при условии $\cos\alpha \neq 0$):
$\left(\frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\right)^2 = \left(\frac{1 - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\alpha}\right)^2$.
Так как $\text{tg}45^\circ = 1$, мы можем переписать выражение:
$\left(\frac{\text{tg}45^\circ - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}45^\circ \cdot \text{tg}\alpha}\right)^2$.
Выражение в скобках является формулой тангенса разности $\text{tg}(45^\circ - \alpha)$, следовательно:
$(\text{tg}(45^\circ - \alpha))^2 = \text{tg}^2(45^\circ - \alpha)$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.