Страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.19. Докажите тождество:

1) $ \sin^2\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right) - \sin^2\left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right) = -\sin 8\alpha $

2) $ 1 - 2\cos 3\alpha + \cos 6\alpha = -4\sin^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha $

3) $ \frac{\sin^2\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) + \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right)} = -\frac{1}{4}\sin 8\alpha $

4) $ \frac{2\sin \alpha - \sin 2\alpha}{2\sin \alpha + \sin 2\alpha} = \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} $

1) Докажем тождество $sin^2(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) - sin^2(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = -sin(8\alpha)$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$sin^2(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) - sin^2(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = (sin(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) - sin(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha)) \cdot (sin(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) + sin(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha))$.

Применим формулы преобразования разности и суммы синусов в произведение:

$sin x - sin y = 2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$

$sin x + sin y = 2sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}$

В нашем случае $x = \frac{5\pi}{4} - 4\alpha$ и $y = \frac{5\pi}{4} + 4\alpha$. Тогда:

$\frac{x+y}{2} = \frac{\frac{5\pi}{4} - 4\alpha + \frac{5\pi}{4} + 4\alpha}{2} = \frac{\frac{10\pi}{4}}{2} = \frac{5\pi}{4}$

$\frac{x-y}{2} = \frac{\frac{5\pi}{4} - 4\alpha - (\frac{5\pi}{4} + 4\alpha)}{2} = \frac{-8\alpha}{2} = -4\alpha$

Подставляем эти значения в формулы:

$sin(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) - sin(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = 2cos(\frac{5\pi}{4})sin(-4\alpha) = -2cos(\frac{5\pi}{4})sin(4\alpha)$.

$sin(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) + sin(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = 2sin(\frac{5\pi}{4})cos(-4\alpha) = 2sin(\frac{5\pi}{4})cos(4\alpha)$.

Перемножим полученные выражения:

$(-2cos(\frac{5\pi}{4})sin(4\alpha)) \cdot (2sin(\frac{5\pi}{4})cos(4\alpha)) = -4sin(\frac{5\pi}{4})cos(\frac{5\pi}{4})sin(4\alpha)cos(4\alpha)$.

Используем формулу синуса двойного угла $sin(2\beta) = 2sin\beta cos\beta$ дважды:

$-2 \cdot (2sin(\frac{5\pi}{4})cos(\frac{5\pi}{4})) \cdot (sin(4\alpha)cos(4\alpha)) = - (2sin(\frac{5\pi}{4})cos(\frac{5\pi}{4})) \cdot (2sin(4\alpha)cos(4\alpha)) = -sin(2 \cdot \frac{5\pi}{4}) \cdot sin(2 \cdot 4\alpha) = -sin(\frac{5\pi}{2})sin(8\alpha)$.

Зная, что $sin(\frac{5\pi}{2}) = sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$-1 \cdot sin(8\alpha) = -sin(8\alpha)$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $1 - 2cos(3\alpha) + cos(6\alpha) = -4sin^2(\frac{3\alpha}{2})cos(3\alpha)$.

Преобразуем левую часть тождества. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$. Для $cos(6\alpha)$ имеем $x=3\alpha$:

$cos(6\alpha) = 2cos^2(3\alpha) - 1$.

Подставим это в исходное выражение:

$1 - 2cos(3\alpha) + (2cos^2(3\alpha) - 1) = 1 - 2cos(3\alpha) + 2cos^2(3\alpha) - 1 = 2cos^2(3\alpha) - 2cos(3\alpha)$.

Вынесем общий множитель $2cos(3\alpha)$ за скобки:

$2cos(3\alpha)(cos(3\alpha) - 1)$.

Воспользуемся формулой, следующей из косинуса двойного угла: $cos(2x) = 1-2sin^2(x)$, откуда $1-cos(2x) = 2sin^2(x)$. При $2x=3\alpha$, то есть $x = \frac{3\alpha}{2}$, имеем $1 - cos(3\alpha) = 2sin^2(\frac{3\alpha}{2})$. Следовательно, $cos(3\alpha) - 1 = -2sin^2(\frac{3\alpha}{2})$.

Подставим это в наше выражение:

$2cos(3\alpha) \cdot (-2sin^2(\frac{3\alpha}{2})) = -4sin^2(\frac{3\alpha}{2})cos(3\alpha)$.

Получили правую часть тождества.

Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{sin^2(4\alpha - \frac{\pi}{2})}{ctg(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) + tg(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha)} = -\frac{1}{4}sin(8\alpha)$.

Преобразуем левую часть тождества. Начнем с числителя, используя формулу приведения $sin(x - \frac{\pi}{2}) = -cos(x)$:

$sin^2(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = (-cos(4\alpha))^2 = cos^2(4\alpha)$.

Теперь преобразуем знаменатель, используя формулы приведения $ctg(\frac{3\pi}{2} - x) = tg(x)$ и $tg(\frac{3\pi}{2} + x) = -ctg(x)$:

$ctg(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) + tg(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha) = tg(2\alpha) - ctg(2\alpha)$.

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:

$tg(2\alpha) - ctg(2\alpha) = \frac{sin(2\alpha)}{cos(2\alpha)} - \frac{cos(2\alpha)}{sin(2\alpha)} = \frac{sin^2(2\alpha) - cos^2(2\alpha)}{sin(2\alpha)cos(2\alpha)}$.

Воспользуемся формулами двойного угла: $cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)$ и $2sin(x)cos(x) = sin(2x)$:

$\frac{-(cos^2(2\alpha) - sin^2(2\alpha))}{\frac{1}{2}(2sin(2\alpha)cos(2\alpha))} = \frac{-cos(4\alpha)}{\frac{1}{2}sin(4\alpha)} = \frac{-2cos(4\alpha)}{sin(4\alpha)}$.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{cos^2(4\alpha)}{\frac{-2cos(4\alpha)}{sin(4\alpha)}} = cos^2(4\alpha) \cdot \frac{sin(4\alpha)}{-2cos(4\alpha)} = -\frac{sin(4\alpha)cos(4\alpha)}{2}$.

Снова применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, откуда $sin(x)cos(x) = \frac{1}{2}sin(2x)$:

$-\frac{1}{2} (sin(4\alpha)cos(4\alpha)) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}sin(8\alpha) = -\frac{1}{4}sin(8\alpha)$.

Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество $\frac{2sin\alpha - sin(2\alpha)}{2sin\alpha + sin(2\alpha)} = tg^2(\frac{\alpha}{2})$.

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2sin\alpha - 2sin\alpha cos\alpha}{2sin\alpha + 2sin\alpha cos\alpha}$.

Вынесем общий множитель $2sin\alpha$ за скобки в числителе и знаменателе, а затем сократим дробь (при условии, что $sin\alpha \neq 0$):

$\frac{2sin\alpha(1 - cos\alpha)}{2sin\alpha(1 + cos\alpha)} = \frac{1 - cos\alpha}{1 + cos\alpha}$.

Используем формулы половинного угла, которые следуют из формул косинуса двойного угла: $1 - cos\alpha = 2sin^2(\frac{\alpha}{2})$ и $1 + cos\alpha = 2cos^2(\frac{\alpha}{2})$:

$\frac{2sin^2(\frac{\alpha}{2})}{2cos^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{sin^2(\frac{\alpha}{2})}{cos^2(\frac{\alpha}{2})}$.

По определению тангенса $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$, получаем:

$(\frac{sin(\frac{\alpha}{2})}{cos(\frac{\alpha}{2})})^2 = tg^2(\frac{\alpha}{2})$.

Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

26.20. Докажите, что $\operatorname{tg} 15^\circ + \operatorname{ctg} 15^\circ = 4$.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть.

1. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус, используя определения $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $ и $ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $:

$ \tg 15° + \ctg 15° = \frac{\sin 15°}{\cos 15°} + \frac{\cos 15°}{\sin 15°} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin 15° \cos 15° $:

$ \frac{\sin 15° \cdot \sin 15° + \cos 15° \cdot \cos 15°}{\sin 15° \cos 15°} = \frac{\sin^2 15° + \cos^2 15°}{\sin 15° \cos 15°} $

3. В числителе дроби получилось выражение, которое соответствует основному тригонометрическому тождеству: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Применим его:

$ \frac{1}{\sin 15° \cos 15°} $

4. Знаменатель дроби преобразуем с помощью формулы синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Из этой формулы следует, что $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2} $.

Применительно к нашему случаю, где $ \alpha = 15° $:

$ \sin 15° \cos 15° = \frac{\sin(2 \cdot 15°)}{2} = \frac{\sin 30°}{2} $

5. Подставим полученное выражение для знаменателя обратно в нашу дробь:

$ \frac{1}{\frac{\sin 30°}{2}} = \frac{2}{\sin 30°} $

6. Значение синуса 30 градусов является табличным: $ \sin 30° = \frac{1}{2} $. Подставим это значение в выражение:

$ \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4 $

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна 4, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \tg 15° + \ctg 15° = 4 $ доказано.

26.21. Докажите, что $\tan 75^\circ - \cot 75^\circ = 2\sqrt{3}$.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя основные тригонометрические формулы.

1. Представим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$tg(75^\circ) - ctg(75^\circ) = \frac{\sin(75^\circ)}{\cos(75^\circ)} - \frac{\cos(75^\circ)}{\sin(75^\circ)}$

2. Приведем выражение к общему знаменателю $\sin(75^\circ)\cos(75^\circ)$:

$\frac{\sin^2(75^\circ) - \cos^2(75^\circ)}{\sin(75^\circ)\cos(75^\circ)}$

3. В числителе и знаменателе можно распознать части формул двойного угла. Вспомним формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$, и формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

4. Применим эти формулы к нашему выражению, подставив $\alpha = 75^\circ$. Для числителя используем следствие $\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = -(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)) = -\cos(2\alpha)$. Для знаменателя используем следствие $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

$\frac{-\cos(2 \cdot 75^\circ)}{\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 75^\circ)} = \frac{-\cos(150^\circ)}{\frac{1}{2}\sin(150^\circ)}$

5. Упростим полученное выражение:

$-2 \cdot \frac{\cos(150^\circ)}{\sin(150^\circ)} = -2 ctg(150^\circ)$

6. Найдем значение $ctg(150^\circ)$. Угол $150^\circ$ находится во второй четверти. Используем формулу приведения: $ctg(150^\circ) = ctg(180^\circ - 30^\circ) = -ctg(30^\circ)$.

7. Так как табличное значение $ctg(30^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$ctg(150^\circ) = -\sqrt{3}$

8. Подставим это значение обратно в наше выражение:

$-2 \cdot (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили $2\sqrt{3}$, что равно правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $tg(75^\circ) - ctg(75^\circ) = 2\sqrt{3}$ доказано.

26.22. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^3 \alpha - \cos 3\alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin^3 \alpha + \sin 3\alpha}{\sin \alpha} = 3;$

2) $\frac{\sin^3 \alpha + \sin 3\alpha}{\cos^3 \alpha - \cos 3\alpha} = \operatorname{ctg} \alpha.$

1) Докажем тождество: $ \frac{\cos^3\alpha - \cos3\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin^3\alpha + \sin3\alpha}{\sin\alpha} = 3 $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы косинуса и синуса тройного угла:

$ \cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha $

$ \sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $

Подставим эти формулы в левую часть исходного выражения.

Рассмотрим первое слагаемое:

$ \frac{\cos^3\alpha - \cos3\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^3\alpha - (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{\cos^3\alpha - 4\cos^3\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-3\cos^3\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha} $

Вынесем за скобки общий множитель $3\cos\alpha$ в числителе:

$ \frac{3\cos\alpha(1 - \cos^2\alpha)}{\cos\alpha} $

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, имеем $ 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha $. Подставим это в выражение:

$ \frac{3\cos\alpha \cdot \sin^2\alpha}{\cos\alpha} = 3\sin^2\alpha $

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

$ \frac{\sin^3\alpha + \sin3\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^3\alpha + (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{\sin^3\alpha + 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha}{\sin\alpha} = \frac{-3\sin^3\alpha + 3\sin\alpha}{\sin\alpha} $

Вынесем за скобки общий множитель $3\sin\alpha$ в числителе:

$ \frac{3\sin\alpha(1 - \sin^2\alpha)}{\sin\alpha} $

Из основного тригонометрического тождества следует, что $ 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha $. Подставим:

$ \frac{3\sin\alpha \cdot \cos^2\alpha}{\sin\alpha} = 3\cos^2\alpha $

Сложим полученные результаты:

$ 3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha = 3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 3 \cdot 1 = 3 $

Мы получили, что левая часть тождества равна 3, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ \frac{\sin^3\alpha + \sin3\alpha}{\cos^3\alpha - \cos3\alpha} = \text{ctg}\alpha $.

Воспользуемся результатами преобразований числителя и знаменателя из предыдущего пункта.

Числитель дроби:

$ \sin^3\alpha + \sin3\alpha = \sin^3\alpha + (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha) = 3\sin\alpha - 3\sin^3\alpha = 3\sin\alpha(1 - \sin^2\alpha) = 3\sin\alpha\cos^2\alpha $

Знаменатель дроби:

$ \cos^3\alpha - \cos3\alpha = \cos^3\alpha - (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha) = -3\cos^3\alpha + 3\cos\alpha = 3\cos\alpha(1 - \cos^2\alpha) = 3\cos\alpha\sin^2\alpha $

Подставим преобразованные выражения обратно в левую часть тождества:

$ \frac{\sin^3\alpha + \sin3\alpha}{\cos^3\alpha - \cos3\alpha} = \frac{3\sin\alpha\cos^2\alpha}{3\cos\alpha\sin^2\alpha} $

Сократим общие множители $3$, $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \sin\alpha \neq 0 $ и $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $

По определению котангенса, $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.

Таким образом, левая часть тождества равна $ \text{ctg}\alpha $, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

26.23. Докажите тождество $\frac{\sin 3\alpha + 4 \sin^3 \alpha}{\cos 3\alpha - 4 \cos^3 \alpha} = \frac{\cos 3\alpha - \cos^3 \alpha}{\sin 3\alpha + \sin^3 \alpha}$.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности, приводя их к одному и тому же выражению.

Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса тройного угла:

$\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$

$\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$

Преобразование левой части:

$$ \frac{\sin(3\alpha) + 4\sin^3\alpha}{\cos(3\alpha) - 4\cos^3\alpha} $$

Подставим формулы тройного угла в числитель и знаменатель дроби.

В числителе: $\sin(3\alpha) + 4\sin^3\alpha = (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha) + 4\sin^3\alpha = 3\sin\alpha$.

В знаменателе: $\cos(3\alpha) - 4\cos^3\alpha = (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha) - 4\cos^3\alpha = -3\cos\alpha$.

Тогда левая часть тождества равна:

$$ \frac{3\sin\alpha}{-3\cos\alpha} = -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tan\alpha $$

Преобразование правой части:

$$ \frac{\cos(3\alpha) - \cos^3\alpha}{\sin(3\alpha) + \sin^3\alpha} $$

Аналогично подставим формулы тройного угла.

В числителе: $\cos(3\alpha) - \cos^3\alpha = (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha) - \cos^3\alpha = 3\cos^3\alpha - 3\cos\alpha = 3\cos\alpha(\cos^2\alpha - 1)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$, получаем: $3\cos\alpha(-\sin^2\alpha) = -3\sin^2\alpha\cos\alpha$.

В знаменателе: $\sin(3\alpha) + \sin^3\alpha = (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha) + \sin^3\alpha = 3\sin\alpha - 3\sin^3\alpha = 3\sin\alpha(1 - \sin^2\alpha)$.

Из основного тригонометрического тождества $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем: $3\sin\alpha\cos^2\alpha$.

Тогда правая часть тождества равна:

$$ \frac{-3\sin^2\alpha\cos\alpha}{3\sin\alpha\cos^2\alpha} = -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tan\alpha $$

Заключение:

Поскольку в результате преобразований левая и правая части исходного выражения оказались равны одному и тому же выражению ($-\tan\alpha$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

26.24. Дано: $\sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $135^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите $\sin \alpha$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся тригонометрическими формулами и информацией о знаках тригонометрических функций в разных четвертях.

1. Определение диапазона для угла $2\alpha$
По условию нам дан диапазон для угла $\alpha$: $135^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$.
Чтобы найти диапазон для угла $2\alpha$, умножим все части неравенства на 2:
$2 \cdot 135^{\circ} < 2\alpha < 2 \cdot 180^{\circ}$
$270^{\circ} < 2\alpha < 360^{\circ}$
Этот диапазон соответствует четвертой координатной четверти. В этой четверти синус отрицателен (что соответствует условию $\sin(2\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$), а косинус положителен.

2. Нахождение $\cos(2\alpha)$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.
$\cos^2(2\alpha) = 1 - \sin^2(2\alpha)$
Подставим известное значение $\sin(2\alpha)$: $\cos^2(2\alpha) = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
Отсюда $\cos(2\alpha) = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.
Поскольку угол $2\alpha$ находится в четвертой четверти, его косинус должен быть положительным. Таким образом, $\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$.

3. Нахождение $\sin(\alpha)$
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла, которая связывает $\cos(2\alpha)$ и $\sin(\alpha)$: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$
Подставим найденное значение $\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}$ в формулу:
$\frac{1}{2} = 1 - 2\sin^2(\alpha)$
Выразим из этого уравнения $\sin^2(\alpha)$: $2\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{2}$
$2\sin^2(\alpha) = \frac{1}{2}$
$\sin^2(\alpha) = \frac{1}{4}$
Следовательно, $\sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

4. Выбор правильного знака для $\sin(\alpha)$
По условию, $135^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$. Этот диапазон соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти синус имеет положительное значение.
Поэтому мы выбираем знак «+».
$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

Для нахождения $cos\frac{\alpha}{2}$ воспользуемся формулой половинного угла для косинуса:

$cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + cos\alpha}{2}$

Чтобы использовать эту формулу, нам сначала нужно найти значение $cos\alpha$. Для этого определим, в какой четверти находится угол $\alpha$.

Из условия известно, что $90^\circ < \frac{\alpha}{2} < 135^\circ$. Умножим все части этого неравенства на 2, чтобы найти диапазон для угла $\alpha$:

$2 \cdot 90^\circ < 2 \cdot \frac{\alpha}{2} < 2 \cdot 135^\circ$

$180^\circ < \alpha < 270^\circ$

Этот диапазон углов соответствует III (третьей) координатной четверти. В третьей четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения.

Теперь найдем $cos\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$

Подставим данное значение $sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$cos^2\alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Отсюда $cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в третьей четверти, его косинус отрицателен, следовательно, $cos\alpha = -\frac{1}{2}$.

Теперь мы можем найти $cos^2\frac{\alpha}{2}$, подставив значение $cos\alpha$ в формулу половинного угла:

$cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{1}{2})}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$

Следовательно, $cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Чтобы выбрать правильный знак, обратимся к условию $90^\circ < \frac{\alpha}{2} < 135^\circ$. Этот диапазон углов соответствует II (второй) координатной четверти. Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения.

Таким образом, $cos\frac{\alpha}{2}$ должен быть отрицательным.

$cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

26.26. Дано: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} = 6$. Найдите $\sin \alpha - \cos \alpha$.

Для нахождения значения выражения $\sin\alpha - \cos\alpha$, зная значение $\text{tg}\frac{\alpha}{2}$, воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки, которые выражают тригонометрические функции угла $\alpha$ через тангенс половинного угла.

Формулы для синуса и косинуса через тангенс половинного угла выглядят следующим образом:

$\sin\alpha = \frac{2\text{tg}\frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}}$

По условию задачи нам дано, что $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = 6$. Подставим это значение в приведенные выше формулы.

1. Вычислим значение $\sin\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{2 \cdot 6}{1 + 6^2} = \frac{12}{1 + 36} = \frac{12}{37}$

2. Вычислим значение $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \frac{1 - 6^2}{1 + 6^2} = \frac{1 - 36}{1 + 36} = \frac{-35}{37}$

3. Теперь найдем искомую разность $\sin\alpha - \cos\alpha$:

$\sin\alpha - \cos\alpha = \frac{12}{37} - \left(-\frac{35}{37}\right) = \frac{12}{37} + \frac{35}{37} = \frac{12 + 35}{37} = \frac{47}{37}$

Ответ: $\frac{47}{37}$

26.27. Вычислите $2 - 13\cos 2\alpha + \frac{1}{\sin 2\alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{1}{5}$.

Для вычисления значения данного выражения нам нужно найти значения $\cos(2\alpha)$ и $\sin(2\alpha)$. Их можно выразить через $\tan(\alpha)$, который, в свою очередь, легко находится из известного значения $\text{ctg}(\alpha)$.

1. Найдем $\tan(\alpha)$.

По определению, $\tan(\alpha) = \frac{1}{\text{ctg}(\alpha)}$. Так как по условию $\text{ctg}(\alpha) = -\frac{1}{5}$, получаем:

$\tan(\alpha) = \frac{1}{-1/5} = -5$.

2. Найдем $\sin(2\alpha)$ и $\cos(2\alpha)$ с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки (формулы двойного угла через тангенс):

$\sin(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 + \tan^2(\alpha)}$

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - \tan^2(\alpha)}{1 + \tan^2(\alpha)}$

Подставим в эти формулы найденное значение $\tan(\alpha) = -5$:

$\sin(2\alpha) = \frac{2 \cdot (-5)}{1 + (-5)^2} = \frac{-10}{1 + 25} = \frac{-10}{26} = -\frac{5}{13}$.

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - (-5)^2}{1 + (-5)^2} = \frac{1 - 25}{1 + 25} = \frac{-24}{26} = -\frac{12}{13}$.

3. Теперь подставим полученные значения $\sin(2\alpha) = -\frac{5}{13}$ и $\cos(2\alpha) = -\frac{12}{13}$ в исходное выражение:

$2 - 13\cos(2\alpha) + \frac{1}{\sin(2\alpha)} = 2 - 13 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) + \frac{1}{-\frac{5}{13}}$.

Выполним вычисления:

$2 + 13 \cdot \frac{12}{13} - \frac{13}{5} = 2 + 12 - \frac{13}{5} = 14 - \frac{13}{5}$.

Приведем разность к общему знаменателю:

$14 - \frac{13}{5} = \frac{14 \cdot 5}{5} - \frac{13}{5} = \frac{70 - 13}{5} = \frac{57}{5}$.

Это значение также можно записать в виде десятичной дроби: $11.4$.

Ответ: $\frac{57}{5}$.

26.28. Вычислите $1 + 5\sin 2\alpha - \frac{3}{\cos 2\alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = -2$.

Для вычисления значения данного выражения необходимо найти значения $\sin(2\alpha)$ и $\cos(2\alpha)$, используя известное значение $\tan(\alpha) = -2$. Воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки, выражающими синус и косинус двойного угла через тангенс одинарного угла:

$\sin(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}$

$\cos(2\alpha) = \frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}$

Подставим значение $\tan\alpha = -2$ в эти формулы.

Сначала вычислим знаменатель $1+\tan^2\alpha$:

$1+\tan^2\alpha = 1 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$.

Теперь найдем значение $\sin(2\alpha)$:

$\sin(2\alpha) = \frac{2 \cdot (-2)}{5} = -\frac{4}{5}$.

И значение $\cos(2\alpha)$:

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - (-2)^2}{5} = \frac{1 - 4}{5} = -\frac{3}{5}$.

Теперь, когда у нас есть значения для $\sin(2\alpha)$ и $\cos(2\alpha)$, мы можем подставить их в исходное выражение $1 + 5\sin(2\alpha) - \frac{3}{\cos(2\alpha)}$:

$1 + 5 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - \frac{3}{-\frac{3}{5}} = 1 - 4 - \left(3 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)\right) = -3 - (-5) = -3 + 5 = 2$.

Ответ: 2

26.29. Найдите $\sin 2\alpha$, если $\cos \alpha + \sin \alpha = \frac{1}{3}$.

Для того чтобы найти значение $ \sin 2\alpha $, воспользуемся данным нам равенством.

Исходное уравнение:

$ \cos \alpha + \sin \alpha = \frac{1}{3} $

Возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$ (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 $

Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha = \frac{1}{9} $

Теперь воспользуемся двумя основными тригонометрическими тождествами:

1. Основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
2. Формула синуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $.

Применим эти тождества к нашему уравнению. Сгруппируем слагаемые в левой части:

$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9} $

Заменяем выражения согласно тождествам:

$ 1 + \sin 2\alpha = \frac{1}{9} $

Осталось только выразить $ \sin 2\alpha $:

$ \sin 2\alpha = \frac{1}{9} - 1 $

$ \sin 2\alpha = \frac{1}{9} - \frac{9}{9} $

$ \sin 2\alpha = -\frac{8}{9} $

Ответ: $ -\frac{8}{9} $

26.30. Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2}$.

Для того чтобы найти $sin\alpha$, нам необходимо использовать данное уравнение:
$cos\frac{\alpha}{2} - sin\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2}$

Возведем обе части этого уравнения в квадрат. Это позволит нам использовать тригонометрические тождества, связывающие квадраты синуса и косинуса, а также их произведение.
$(cos\frac{\alpha}{2} - sin\frac{\alpha}{2})^2 = (-\frac{1}{2})^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$cos^2\frac{\alpha}{2} - 2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2} + sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{4}$

Теперь воспользуемся двумя основными тригонометрическими формулами:
1. Основное тригонометрическое тождество: $sin^2x + cos^2x = 1$. Применительно к нашему случаю ($x = \frac{\alpha}{2}$), получаем $sin^2\frac{\alpha}{2} + cos^2\frac{\alpha}{2} = 1$.
2. Формула синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sinxcosx$. Применительно к нашему случаю ($x = \frac{\alpha}{2}$), получаем $2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2} = sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = sin\alpha$.

Сгруппируем слагаемые в нашем уравнении и подставим известные тождества:
$(sin^2\frac{\alpha}{2} + cos^2\frac{\alpha}{2}) - (2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{4}$
$1 - sin\alpha = \frac{1}{4}$

Остается только выразить $sin\alpha$ из этого простого уравнения:
$sin\alpha = 1 - \frac{1}{4}$
$sin\alpha = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$
$sin\alpha = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

26.31. Упростите выражение:

1) $\cos^4 \alpha - 6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha;$

2) $\frac{2\sin 4\alpha (1 - \text{tg}^2 2\alpha)}{1 + \text{ctg}^2 \left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)};$

3) $\frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^4 \alpha - 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{4 - \sin^2 2\alpha - 4\sin^2 \alpha};$

4) $\frac{2\sin^2 4\alpha - 1}{2\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\cos^2\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right)}.$

192

1) $\cos^4\alpha - 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \sin^4\alpha$

Сгруппируем первый и последний члены и добавим и вычтем $2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$, чтобы выделить полный квадрат суммы:

$(\cos^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \sin^4\alpha) - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Первые три члена образуют квадрат суммы $(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2 - 8\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1^2 - 8\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 8\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Возведя ее в квадрат, получим $\sin^2(2\alpha) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Выражение можно переписать как:

$1 - 2 \cdot (4\sin^2\alpha\cos^2\alpha) = 1 - 2\sin^2(2\alpha)$

Это выражение является формулой косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$, где $x=2\alpha$.

Следовательно, $1 - 2\sin^2(2\alpha) = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha)$.

Ответ: $\cos(4\alpha)$.

2) $\frac{2\sin4\alpha(1-\text{tg}^2 2\alpha)}{1+\text{ctg}^2(\frac{\pi}{2}+2\alpha)}$

Рассмотрим знаменатель. Применим формулу приведения $\text{ctg}(\frac{\pi}{2}+x) = -\text{tg}(x)$:

$1+\text{ctg}^2(\frac{\pi}{2}+2\alpha) = 1+(-\text{tg}(2\alpha))^2 = 1+\text{tg}^2(2\alpha)$

Используя тождество $1+\text{tg}^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$, получаем:

$1+\text{tg}^2(2\alpha) = \frac{1}{\cos^2(2\alpha)}$

Теперь рассмотрим числитель. Преобразуем выражение в скобках:

$1-\text{tg}^2(2\alpha) = 1 - \frac{\sin^2(2\alpha)}{\cos^2(2\alpha)} = \frac{\cos^2(2\alpha)-\sin^2(2\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}$

Выражение в числителе дроби является формулой косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$, где $x=2\alpha$. Таким образом:

$1-\text{tg}^2(2\alpha) = \frac{\cos(4\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}$

Весь числитель равен:

$2\sin(4\alpha) \cdot \frac{\cos(4\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}$

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{2\sin(4\alpha) \frac{\cos(4\alpha)}{\cos^2(2\alpha)}}{\frac{1}{\cos^2(2\alpha)}} = 2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, где $x=4\alpha$, получаем:

$2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha) = \sin(2 \cdot 4\alpha) = \sin(8\alpha)$

Ответ: $\sin(8\alpha)$.

3) $\frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^4\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{4 - \sin^2 2\alpha - 4\sin^2\alpha}$

Упростим числитель. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin^2(2\alpha) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$:

$\sin^2 2\alpha + 4\sin^4\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (4\sin^2\alpha\cos^2\alpha) + 4\sin^4\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 4\sin^4\alpha$

Теперь упростим знаменатель. Также заменим $\sin^2(2\alpha)$:

$4 - \sin^2 2\alpha - 4\sin^2\alpha = 4 - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha$

Сгруппируем первое и последнее слагаемые и вынесем 4 за скобки:

$4(1-\sin^2\alpha) - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $1-\sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем:

$4\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Вынесем $4\cos^2\alpha$ за скобки:

$4\cos^2\alpha(1-\sin^2\alpha) = 4\cos^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = 4\cos^4\alpha$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{4\sin^4\alpha}{4\cos^4\alpha} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} = \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^4 = \text{tg}^4\alpha$

Ответ: $\text{tg}^4\alpha$.

4) $\frac{2\sin^2 4\alpha - 1}{2\text{ctg}(\frac{\pi}{4}+4\alpha)\cos^2(\frac{5\pi}{4}-4\alpha)}$

Упростим числитель, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$:

$2\sin^2 4\alpha - 1 = -(1 - 2\sin^2 4\alpha) = -\cos(2 \cdot 4\alpha) = -\cos(8\alpha)$

Теперь упростим знаменатель. Обозначим $A = \frac{\pi}{4}+4\alpha$ и $B = \frac{5\pi}{4}-4\alpha$.

Найдем сумму углов $A$ и $B$:

$A+B = (\frac{\pi}{4}+4\alpha) + (\frac{5\pi}{4}-4\alpha) = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$

Отсюда $B = \frac{3\pi}{2} - A$.

Знаменатель имеет вид $2\text{ctg}(A)\cos^2(B)$. Подставим выражение для $B$:

$2\text{ctg}(A)\cos^2(\frac{3\pi}{2} - A)$

Применим формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2}-x) = -\sin(x)$. Тогда $\cos^2(\frac{3\pi}{2}-A) = (-\sin A)^2 = \sin^2 A$.

Знаменатель превращается в:

$2\text{ctg}(A) \sin^2 A = 2 \frac{\cos A}{\sin A} \sin^2 A = 2\sin A\cos A$

Это формула синуса двойного угла, $2\sin A\cos A = \sin(2A)$.

Подставим обратно $A = \frac{\pi}{4}+4\alpha$:

$\sin(2A) = \sin(2(\frac{\pi}{4}+4\alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2}+8\alpha)$

Снова используем формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2}+x) = \cos(x)$:

$\sin(\frac{\pi}{2}+8\alpha) = \cos(8\alpha)$

Итак, знаменатель равен $\cos(8\alpha)$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{-\cos(8\alpha)}{\cos(8\alpha)} = -1$

Ответ: $-1$.