Страница 198 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Запишите формулу суммы синусов, разности синусов, суммы косинусов, разности косинусов.

2. Запишите формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

1. Ниже приведены формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Эти формулы также известны как формулы суммы синусов, разности синусов, суммы косинусов и разности косинусов.

Формула суммы синусов:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Формула разности синусов:

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

Формула суммы косинусов:

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Формула разности косинусов:

$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Ответ: Выше записаны формулы для суммы синусов, разности синусов, суммы косинусов и разности косинусов.

2. Ниже приведены формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность.

Формула преобразования произведения синуса на косинус:

$\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$

Формула преобразования произведения косинусов:

$\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$

Формула преобразования произведения синусов:

$\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$

Ответ: Выше записаны формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

27.1. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 8\alpha + \sin 2\alpha}{\cos 8\alpha + \cos 2\alpha}$;

2) $\frac{\sin 5\alpha - \sin \alpha}{\cos 5\alpha - \cos \alpha}$;

3) $\frac{\cos 74^\circ - \cos 14^\circ}{\sin 74^\circ + \sin 14^\circ}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{\sin{8\alpha} + \sin{2\alpha}}{\cos{8\alpha} + \cos{2\alpha}}$ воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:
$\sin{8\alpha} + \sin{2\alpha} = 2 \sin\frac{8\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-2\alpha}{2} = 2 \sin{5\alpha}\cos{3\alpha}$
$\cos{8\alpha} + \cos{2\alpha} = 2 \cos\frac{8\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-2\alpha}{2} = 2 \cos{5\alpha}\cos{3\alpha}$
Подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим:
$\frac{2 \sin{5\alpha}\cos{3\alpha}}{2 \cos{5\alpha}\cos{3\alpha}} = \frac{\sin{5\alpha}}{\cos{5\alpha}} = \tan{5\alpha}$
Ответ: $\tan{5\alpha}$

2) Для упрощения выражения $\frac{\sin{5\alpha} - \sin{\alpha}}{\cos{5\alpha} - \cos{\alpha}}$ воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение:
$\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$
$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:
$\sin{5\alpha} - \sin{\alpha} = 2 \cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos{3\alpha}\sin{2\alpha}$
$\cos{5\alpha} - \cos{\alpha} = -2 \sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{5\alpha-\alpha}{2} = -2 \sin{3\alpha}\sin{2\alpha}$
Подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим:
$\frac{2 \cos{3\alpha}\sin{2\alpha}}{-2 \sin{3\alpha}\sin{2\alpha}} = -\frac{\cos{3\alpha}}{\sin{3\alpha}} = -\cot{3\alpha}$
Ответ: $-\cot{3\alpha}$

3) Для упрощения выражения $\frac{\cos{74^\circ} - \cos{14^\circ}}{\sin{74^\circ} + \sin{14^\circ}}$ воспользуемся формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:
$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$
$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:
$\cos{74^\circ} - \cos{14^\circ} = -2 \sin\frac{74^\circ+14^\circ}{2}\sin\frac{74^\circ-14^\circ}{2} = -2 \sin\frac{88^\circ}{2}\sin\frac{60^\circ}{2} = -2 \sin{44^\circ}\sin{30^\circ}$
$\sin{74^\circ} + \sin{14^\circ} = 2 \sin\frac{74^\circ+14^\circ}{2}\cos\frac{74^\circ-14^\circ}{2} = 2 \sin\frac{88^\circ}{2}\cos\frac{60^\circ}{2} = 2 \sin{44^\circ}\cos{30^\circ}$
Подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим:
$\frac{-2 \sin{44^\circ}\sin{30^\circ}}{2 \sin{44^\circ}\cos{30^\circ}} = -\frac{\sin{30^\circ}}{\cos{30^\circ}} = -\tan{30^\circ}$
Зная, что $\tan{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:
$-\tan{30^\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

27.2. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos 6\alpha + \cos 4\alpha}{\cos \alpha + \cos 9\alpha}$;

2) $\frac{\cos \alpha - \cos 11\alpha}{\sin 11\alpha - \sin \alpha}$;

3) $\frac{\cos 58^{\circ} + \cos 32^{\circ}}{\sin 58^{\circ} + \sin 32^{\circ}}$.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение (формулы суммы косинусов):

$$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $$

Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби.

Числитель: $ \cos 6\alpha + \cos 4\alpha = 2 \cos\frac{6\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha-4\alpha}{2} = 2 \cos 5\alpha \cos\alpha $.

Знаменатель: $ \cos\alpha + \cos 9\alpha = \cos 9\alpha + \cos\alpha = 2 \cos\frac{9\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{9\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 5\alpha \cos 4\alpha $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{\cos 6\alpha + \cos 4\alpha}{\cos\alpha + \cos 9\alpha} = \frac{2 \cos 5\alpha \cos\alpha}{2 \cos 5\alpha \cos 4\alpha} $$

Сократим общий множитель $ 2 \cos 5\alpha $ (при условии, что $ \cos 5\alpha \neq 0 $):

$$ \frac{\cos\alpha}{\cos 4\alpha} $$

Ответ: $ \frac{\cos\alpha}{\cos 4\alpha} $.

2) Для упрощения этого выражения используем формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

$$ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $$

$$ \sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $$

Преобразуем числитель:

$$ \cos\alpha - \cos 11\alpha = -2 \sin\frac{\alpha+11\alpha}{2} \sin\frac{\alpha-11\alpha}{2} = -2 \sin 6\alpha \sin(-5\alpha) $$

Так как $ \sin(-x) = -\sin x $, то:

$$ -2 \sin 6\alpha (-\sin 5\alpha) = 2 \sin 6\alpha \sin 5\alpha $$

Преобразуем знаменатель:

$$ \sin 11\alpha - \sin\alpha = 2 \cos\frac{11\alpha+\alpha}{2} \sin\frac{11\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 6\alpha \sin 5\alpha $$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$$ \frac{\cos\alpha - \cos 11\alpha}{\sin 11\alpha - \sin\alpha} = \frac{2 \sin 6\alpha \sin 5\alpha}{2 \cos 6\alpha \sin 5\alpha} $$

Сократим общий множитель $ 2 \sin 5\alpha $ (при условии, что $ \sin 5\alpha \neq 0 $):

$$ \frac{\sin 6\alpha}{\cos 6\alpha} = \tan 6\alpha $$

Ответ: $ \tan 6\alpha $.

3) Для упрощения выражения воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $$

$$ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби.

Числитель: $ \cos 58^\circ + \cos 32^\circ = 2 \cos\frac{58^\circ+32^\circ}{2} \cos\frac{58^\circ-32^\circ}{2} = 2 \cos\frac{90^\circ}{2} \cos\frac{26^\circ}{2} = 2 \cos 45^\circ \cos 13^\circ $.

Знаменатель: $ \sin 58^\circ + \sin 32^\circ = 2 \sin\frac{58^\circ+32^\circ}{2} \cos\frac{58^\circ-32^\circ}{2} = 2 \sin\frac{90^\circ}{2} \cos\frac{26^\circ}{2} = 2 \sin 45^\circ \cos 13^\circ $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{\cos 58^\circ + \cos 32^\circ}{\sin 58^\circ + \sin 32^\circ} = \frac{2 \cos 45^\circ \cos 13^\circ}{2 \sin 45^\circ \cos 13^\circ} $$

Сократим общий множитель $ 2 \cos 13^\circ $ (так как $ \cos 13^\circ \neq 0 $):

$$ \frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \cot 45^\circ $$

Мы знаем, что $ \cot 45^\circ = 1 $.

Ответ: 1.

27.3. Преобразуйте в произведение:

1) $1 - 2\cos\alpha$;

2) $\sqrt{3} + 2\cos\alpha$;

3) $1 - \sqrt{2}\sin\alpha$;

4) $\sqrt{3} + \operatorname{ctg}\alpha$.

1) Для преобразования выражения $1 - 2\cos\alpha$ в произведение, вынесем множитель 2 за скобки: $1 - 2\cos\alpha = 2(\frac{1}{2} - \cos\alpha)$. Число $\frac{1}{2}$ можно представить как значение косинуса угла $\frac{\pi}{3}$, то есть $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Подставим это в выражение: $2(\cos\frac{\pi}{3} - \cos\alpha)$. Теперь воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$. Применим ее к выражению в скобках, где $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$: $2 \cdot \left(-2\sin\frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2}\right) = -4\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right)$. Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-z) = -\sin z$, можно записать $\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$. Тогда окончательное выражение будет: $-4\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \left(-\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\right) = 4\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$.
Ответ: $4\sin(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6})$.

2) Преобразуем выражение $\sqrt{3} + 2\cos\alpha$. Вынесем 2 за скобки: $\sqrt{3} + 2\cos\alpha = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos\alpha)$. Заменим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\cos\frac{\pi}{6}$: $2(\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha)$. Применим формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$. В нашем случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$: $2 \cdot \left(2\cos\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$. Так как косинус является четной функцией, то $\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right) = \cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12}\right)$. Поэтому ответ можно записать и так: $4\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12}\right)$.
Ответ: $4\cos(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{12})\cos(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12})$.

3) Преобразуем выражение $1 - \sqrt{2}\sin\alpha$. Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки: $1 - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} - \sin\alpha)$. Заменим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\sin\frac{\pi}{4}$: $\sqrt{2}(\sin\frac{\pi}{4} - \sin\alpha)$. Применим формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$. Здесь $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$: $\sqrt{2} \cdot \left(2\cos\frac{\frac{\pi}{4}+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{4}-\alpha}{2}\right) = 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)$.
Ответ: $2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2})$.

4) Преобразуем выражение $\sqrt{3} + \cot\alpha$. Сначала заменим $\cot\alpha$ на $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и приведем к общему знаменателю: $\sqrt{3} + \cot\alpha = \sqrt{3} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha}$. Теперь преобразуем числитель $\sqrt{3}\sin\alpha + \cos\alpha$, используя метод введения вспомогательного угла. Коэффициент $R$ равен $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$. Вынесем его за скобки: $2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha\right)$. Заменим коэффициенты в скобках на значения тригонометрических функций: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$. $2\left(\cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha\right)$. Выражение в скобках соответствует формуле синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. Следовательно, числитель равен $2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})$. Подставим преобразованный числитель обратно в дробь: $\frac{2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})}{\sin\alpha}$.
Ответ: $\frac{2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})}{\sin\alpha}$.

27.4. Преобразуйте в произведение:

1) $1 - 2\sin \alpha;$ 3) $\sqrt{2} + 2\cos \alpha;$

2) $\sqrt{3} - 2\cos \alpha;$ 4) $\sqrt{3} - \operatorname{tg} \alpha.$

1) $1 - 2\sin\alpha$

Чтобы преобразовать данное выражение в произведение, вынесем множитель 2 за скобки:

$1 - 2\sin\alpha = 2(\frac{1}{2} - \sin\alpha)$

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение:

$2(\sin\frac{\pi}{6} - \sin\alpha)$

Теперь воспользуемся формулой разности синусов: $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

Применив формулу, получаем:

$2 \cdot 2\cos\left(\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\cos(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2})$.

2) $\sqrt{3} - 2\cos\alpha$

Вынесем множитель 2 за скобки:

$\sqrt{3} - 2\cos\alpha = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\alpha)$

Поскольку $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, заменим числовое значение на косинус:

$2(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha)$

Применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

$2 \cdot \left(-2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right)\right) = -4\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin(z)$, мы можем преобразовать $\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}) = -\sin(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12})$. Это позволяет избавиться от знака "минус" перед всем выражением:

$-4\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\left(-\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12}\right)\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12}\right)$

Ответ: $4\sin(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12})$.

3) $\sqrt{2} + 2\cos\alpha$

Вынесем множитель 2 за скобки:

$\sqrt{2} + 2\cos\alpha = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos\alpha)$

Заменим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\cos(\frac{\pi}{4})$:

$2(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha)$

Теперь используем формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

$2 \cdot 2\cos\left(\frac{\frac{\pi}{4}+\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{4}-\alpha}{2}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2})$.

4) $\sqrt{3} - \tan\alpha$

Представим число $\sqrt{3}$ как значение тангенса угла $\frac{\pi}{3}$, то есть $\sqrt{3} = \tan(\frac{\pi}{3})$.

$\tan(\frac{\pi}{3}) - \tan\alpha$

Запишем тангенсы через отношение синуса к косинусу и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{\cos(\frac{\pi}{3})} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin(\frac{\pi}{3})\cos\alpha - \cos(\frac{\pi}{3})\sin\alpha}{\cos(\frac{\pi}{3})\cos\alpha}$

Числитель полученной дроби соответствует формуле синуса разности: $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.

В знаменателе $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Подставив эти значения, получим:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)}{\frac{1}{2}\cos\alpha} = \frac{2\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)}{\cos\alpha}$

Ответ: $\frac{2\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)}{\cos\alpha}$.

27.5. Упростите выражение:

1) $\sin\alpha(1 + 2\cos2\alpha)$;

2) $\cos2\alpha + 2\sin(\alpha + 30^\circ) \sin(\alpha - 30^\circ)$.

1) $\sin\alpha(1 + 2\cos(2\alpha))$

Для упрощения данного выражения раскроем скобки и применим тригонометрические формулы.

$\sin\alpha(1 + 2\cos(2\alpha)) = \sin\alpha + 2\sin\alpha\cos(2\alpha)$

Теперь воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму: $2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$.

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = 2\alpha$.

$2\sin\alpha\cos(2\alpha) = \sin(\alpha + 2\alpha) + \sin(\alpha - 2\alpha) = \sin(3\alpha) + \sin(-\alpha)$

Так как синус является нечетной функцией, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$. Следовательно:

$2\sin\alpha\cos(2\alpha) = \sin(3\alpha) - \sin\alpha$

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$\sin\alpha + (\sin(3\alpha) - \sin\alpha) = \sin\alpha + \sin(3\alpha) - \sin\alpha = \sin(3\alpha)$

Ответ: $\sin(3\alpha)$

2) $\cos(2\alpha) + 2\sin(\alpha + 30^\circ)\sin(\alpha - 30^\circ)$

Для упрощения этого выражения преобразуем произведение синусов во втором слагаемом.

Воспользуемся формулой преобразования произведения в разность: $2\sin x \sin y = \cos(x-y) - \cos(x+y)$.

В нашем случае $x = \alpha + 30^\circ$ и $y = \alpha - 30^\circ$.

Найдем разность и сумму аргументов:

$x - y = (\alpha + 30^\circ) - (\alpha - 30^\circ) = \alpha + 30^\circ - \alpha + 30^\circ = 60^\circ$

$x + y = (\alpha + 30^\circ) + (\alpha - 30^\circ) = 2\alpha$

Подставим эти значения в формулу:

$2\sin(\alpha + 30^\circ)\sin(\alpha - 30^\circ) = \cos(60^\circ) - \cos(2\alpha)$

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$\cos(2\alpha) + (\cos(60^\circ) - \cos(2\alpha))$

Упростим, сократив $\cos(2\alpha)$ и $-\cos(2\alpha)$:

$\cos(2\alpha) + \cos(60^\circ) - \cos(2\alpha) = \cos(60^\circ)$

Значение косинуса 60 градусов известно:

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

27.6. Упростите выражение:

1) $2 \sin 2\alpha \sin \alpha + \cos 3\alpha$;

2) $\sin \alpha - 2 \sin \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12} \right) \cos \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12} \right)$.

1) Для упрощения выражения $2\sin2\alpha\sin\alpha + \cos3\alpha$ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму (разность) косинусов: $2\sin x \sin y = \cos(x-y) - \cos(x+y)$.

В нашем случае $x = 2\alpha$ и $y = \alpha$. Применим формулу к первому слагаемому:

$2\sin2\alpha\sin\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha + \alpha) = \cos\alpha - \cos3\alpha$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(\cos\alpha - \cos3\alpha) + \cos3\alpha$.

Сокращаем $\cos3\alpha$ и $-\cos3\alpha$:

$\cos\alpha - \cos3\alpha + \cos3\alpha = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$

2) Для упрощения выражения $\sin\alpha - 2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right)$ воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов: $2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$.

В нашем случае $x = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}$ и $y = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}$. Применим формулу к вычитаемому:

$x+y = \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right) + \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$.

$x-y = \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right) - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}$.

Таким образом, $2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \sin(\alpha) + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin(x)$, и значение $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, то:

$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.

Значит, вычитаемое равно $\sin\alpha - \frac{1}{2}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sin\alpha - \left(\sin\alpha - \frac{1}{2}\right) = \sin\alpha - \sin\alpha + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

27.7. Докажите тождество:

1) $\cos^2\alpha - \cos^2\beta = \sin(\alpha + \beta)\sin(\beta - \alpha)$;

2) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 7\alpha} = \operatorname{tg} 4\alpha$;

3) $\frac{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\cos \alpha + 2\cos^2 \alpha - 1} = 2\cos \alpha$;

4) $\frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 - 1 + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg} \alpha$;

5) $\frac{(\cos \alpha - \cos 3\alpha)(\sin \alpha + \sin 3\alpha)}{1 - \cos 4\alpha} = \sin 2\alpha$.

1)

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу произведения синусов $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$:

$\sin(\alpha + \beta)\sin(\beta - \alpha) = \frac{1}{2}(\cos((\alpha + \beta) - (\beta - \alpha)) - \cos((\alpha + \beta) + (\beta - \alpha))) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(2\beta))$

Далее применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$:

$\frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(2\beta)) = \frac{1}{2}((2\cos^2\alpha - 1) - (2\cos^2\beta - 1)) = \frac{1}{2}(2\cos^2\alpha - 1 - 2\cos^2\beta + 1) = \frac{1}{2}(2\cos^2\alpha - 2\cos^2\beta) = \cos^2\alpha - \cos^2\beta$

Полученное выражение равно левой части тождества, следовательно, тождество доказано.

Ответ:

2)

Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе и применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:

Числитель:

$(\sin\alpha + \sin7\alpha) + (\sin3\alpha + \sin5\alpha) = 2\sin\frac{\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} + 2\sin\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos3\alpha + 2\sin4\alpha\cos\alpha = 2\sin4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)$

Знаменатель:

$(\cos\alpha + \cos7\alpha) + (\cos3\alpha + \cos5\alpha) = 2\cos\frac{\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} + 2\cos\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos4\alpha\cos3\alpha + 2\cos4\alpha\cos\alpha = 2\cos4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)$

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{2\sin4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)}{2\cos4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)} = \frac{\sin4\alpha}{\cos4\alpha} = \text{tg}4\alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ:

3)

Преобразуем левую часть равенства. Сначала упростим знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $2\cos^2\alpha - 1 = \cos2\alpha$:

$\cos\alpha + 2\cos^2\alpha - 1 = \cos\alpha + \cos2\alpha$

Теперь преобразуем числитель. Сгруппируем слагаемые и применим формулы $1+\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$ и суммы косинусов:

$1 + \cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha = (1 + \cos2\alpha) + (\cos\alpha + \cos3\alpha) = 2\cos^2\alpha + 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos^2\alpha + 2\cos2\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \cos2\alpha)$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2\cos\alpha(\cos\alpha + \cos2\alpha)}{\cos\alpha + \cos2\alpha} = 2\cos\alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ:

4)

Преобразуем левую часть равенства. Упростим числитель:

$(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - 1 + \sin4\alpha = (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) - 1 + \sin4\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$, получаем:

$(1 - \sin2\alpha) - 1 + \sin4\alpha = \sin4\alpha - \sin2\alpha$

Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:

$\sin4\alpha - \sin2\alpha = 2\cos\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\sin\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos3\alpha\sin\alpha$

Теперь преобразуем знаменатель, используя формулу суммы косинусов:

$\cos2\alpha + \cos4\alpha = 2\cos\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos3\alpha\cos\alpha$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2\cos3\alpha\sin\alpha}{2\cos3\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ:

5)

Преобразуем левую часть равенства. Применим формулы разности и суммы тригонометрических функций для множителей в числителе:

$\cos\alpha - \cos3\alpha = -2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} = -2\sin2\alpha\sin(-\alpha) = 2\sin2\alpha\sin\alpha$

$\sin\alpha + \sin3\alpha = 2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin2\alpha\cos(-\alpha) = 2\sin2\alpha\cos\alpha$

Перемножим полученные выражения:

$(2\sin2\alpha\sin\alpha)(2\sin2\alpha\cos\alpha) = 4\sin^22\alpha\sin\alpha\cos\alpha$

Преобразуем знаменатель, используя формулу $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$:

$1 - \cos4\alpha = 2\sin^2(2\alpha)$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{4\sin^22\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2(2\alpha)} = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$, получаем:

$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: