Номер 27.2, страница 198 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.2. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos 6\alpha + \cos 4\alpha}{\cos \alpha + \cos 9\alpha}$;

2) $\frac{\cos \alpha - \cos 11\alpha}{\sin 11\alpha - \sin \alpha}$;

3) $\frac{\cos 58^{\circ} + \cos 32^{\circ}}{\sin 58^{\circ} + \sin 32^{\circ}}$.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение (формулы суммы косинусов):

$$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $$

Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби.

Числитель: $ \cos 6\alpha + \cos 4\alpha = 2 \cos\frac{6\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha-4\alpha}{2} = 2 \cos 5\alpha \cos\alpha $.

Знаменатель: $ \cos\alpha + \cos 9\alpha = \cos 9\alpha + \cos\alpha = 2 \cos\frac{9\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{9\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 5\alpha \cos 4\alpha $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{\cos 6\alpha + \cos 4\alpha}{\cos\alpha + \cos 9\alpha} = \frac{2 \cos 5\alpha \cos\alpha}{2 \cos 5\alpha \cos 4\alpha} $$

Сократим общий множитель $ 2 \cos 5\alpha $ (при условии, что $ \cos 5\alpha \neq 0 $):

$$ \frac{\cos\alpha}{\cos 4\alpha} $$

Ответ: $ \frac{\cos\alpha}{\cos 4\alpha} $.

2) Для упрощения этого выражения используем формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

$$ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $$

$$ \sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $$

Преобразуем числитель:

$$ \cos\alpha - \cos 11\alpha = -2 \sin\frac{\alpha+11\alpha}{2} \sin\frac{\alpha-11\alpha}{2} = -2 \sin 6\alpha \sin(-5\alpha) $$

Так как $ \sin(-x) = -\sin x $, то:

$$ -2 \sin 6\alpha (-\sin 5\alpha) = 2 \sin 6\alpha \sin 5\alpha $$

Преобразуем знаменатель:

$$ \sin 11\alpha - \sin\alpha = 2 \cos\frac{11\alpha+\alpha}{2} \sin\frac{11\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 6\alpha \sin 5\alpha $$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$$ \frac{\cos\alpha - \cos 11\alpha}{\sin 11\alpha - \sin\alpha} = \frac{2 \sin 6\alpha \sin 5\alpha}{2 \cos 6\alpha \sin 5\alpha} $$

Сократим общий множитель $ 2 \sin 5\alpha $ (при условии, что $ \sin 5\alpha \neq 0 $):

$$ \frac{\sin 6\alpha}{\cos 6\alpha} = \tan 6\alpha $$

Ответ: $ \tan 6\alpha $.

3) Для упрощения выражения воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$$ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $$

$$ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби.

Числитель: $ \cos 58^\circ + \cos 32^\circ = 2 \cos\frac{58^\circ+32^\circ}{2} \cos\frac{58^\circ-32^\circ}{2} = 2 \cos\frac{90^\circ}{2} \cos\frac{26^\circ}{2} = 2 \cos 45^\circ \cos 13^\circ $.

Знаменатель: $ \sin 58^\circ + \sin 32^\circ = 2 \sin\frac{58^\circ+32^\circ}{2} \cos\frac{58^\circ-32^\circ}{2} = 2 \sin\frac{90^\circ}{2} \cos\frac{26^\circ}{2} = 2 \sin 45^\circ \cos 13^\circ $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{\cos 58^\circ + \cos 32^\circ}{\sin 58^\circ + \sin 32^\circ} = \frac{2 \cos 45^\circ \cos 13^\circ}{2 \sin 45^\circ \cos 13^\circ} $$

Сократим общий множитель $ 2 \cos 13^\circ $ (так как $ \cos 13^\circ \neq 0 $):

$$ \frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \cot 45^\circ $$

Мы знаем, что $ \cot 45^\circ = 1 $.

Ответ: 1.