Номер 26.47, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.47. Вычислите $\sin 18^\circ$.

Для того чтобы вычислить значение $\sin 18^\circ$, воспользуемся методом, основанным на тригонометрических тождествах.

Пусть $\alpha = 18^\circ$. Умножим этот угол на 5:

$5\alpha = 5 \cdot 18^\circ = 90^\circ$

Разобьем $5\alpha$ на сумму двух углов, $2\alpha$ и $3\alpha$:

$2\alpha + 3\alpha = 90^\circ$

Из этого равенства выразим $2\alpha$:

$2\alpha = 90^\circ - 3\alpha$

Теперь мы можем приравнять синусы левой и правой частей уравнения:

$\sin(2\alpha) = \sin(90^\circ - 3\alpha)$

Согласно формуле приведения, $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$. Применив ее, получим:

$\sin(2\alpha) = \cos(3\alpha)$

Далее используем формулы синуса двойного угла и косинуса тройного угла:

$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$

Подставим эти выражения в наше уравнение:

$2\sin\alpha\cos\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем $\cos\alpha$ за скобки:

$2\sin\alpha\cos\alpha - 4\cos^3\alpha + 3\cos\alpha = 0$

$\cos\alpha(2\sin\alpha - 4\cos^2\alpha + 3) = 0$

Поскольку $\alpha = 18^\circ$, $\cos\alpha = \cos 18^\circ \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos\alpha$, не теряя корней:

$2\sin\alpha - 4\cos^2\alpha + 3 = 0$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, чтобы получить уравнение, содержащее только $\sin\alpha$:

$2\sin\alpha - 4(1 - \sin^2\alpha) + 3 = 0$

$2\sin\alpha - 4 + 4\sin^2\alpha + 3 = 0$

$4\sin^2\alpha + 2\sin\alpha - 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $\sin\alpha$. Сделаем замену $y = \sin\alpha$:

$4y^2 + 2y - 1 = 0$

Решим это уравнение, найдя дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 4 + 16 = 20$

Найдем корни уравнения:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Мы получили два возможных значения для $y = \sin 18^\circ$:

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$ и $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}$

Угол $18^\circ$ находится в первой координатной четверти, где синус имеет положительное значение. Значение $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}$ является отрицательным, поэтому оно нам не подходит. Значение $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$ является положительным (так как $\sqrt{5} > 1$).

Следовательно, искомое значение $\sin 18^\circ$ равно положительному корню.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$