Номер 27.1, страница 198 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.1. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 8\alpha + \sin 2\alpha}{\cos 8\alpha + \cos 2\alpha}$;

2) $\frac{\sin 5\alpha - \sin \alpha}{\cos 5\alpha - \cos \alpha}$;

3) $\frac{\cos 74^\circ - \cos 14^\circ}{\sin 74^\circ + \sin 14^\circ}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{\sin{8\alpha} + \sin{2\alpha}}{\cos{8\alpha} + \cos{2\alpha}}$ воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:
$\sin{8\alpha} + \sin{2\alpha} = 2 \sin\frac{8\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-2\alpha}{2} = 2 \sin{5\alpha}\cos{3\alpha}$
$\cos{8\alpha} + \cos{2\alpha} = 2 \cos\frac{8\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-2\alpha}{2} = 2 \cos{5\alpha}\cos{3\alpha}$
Подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим:
$\frac{2 \sin{5\alpha}\cos{3\alpha}}{2 \cos{5\alpha}\cos{3\alpha}} = \frac{\sin{5\alpha}}{\cos{5\alpha}} = \tan{5\alpha}$
Ответ: $\tan{5\alpha}$

2) Для упрощения выражения $\frac{\sin{5\alpha} - \sin{\alpha}}{\cos{5\alpha} - \cos{\alpha}}$ воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение:
$\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$
$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:
$\sin{5\alpha} - \sin{\alpha} = 2 \cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos{3\alpha}\sin{2\alpha}$
$\cos{5\alpha} - \cos{\alpha} = -2 \sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{5\alpha-\alpha}{2} = -2 \sin{3\alpha}\sin{2\alpha}$
Подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим:
$\frac{2 \cos{3\alpha}\sin{2\alpha}}{-2 \sin{3\alpha}\sin{2\alpha}} = -\frac{\cos{3\alpha}}{\sin{3\alpha}} = -\cot{3\alpha}$
Ответ: $-\cot{3\alpha}$

3) Для упрощения выражения $\frac{\cos{74^\circ} - \cos{14^\circ}}{\sin{74^\circ} + \sin{14^\circ}}$ воспользуемся формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:
$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$
$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:
$\cos{74^\circ} - \cos{14^\circ} = -2 \sin\frac{74^\circ+14^\circ}{2}\sin\frac{74^\circ-14^\circ}{2} = -2 \sin\frac{88^\circ}{2}\sin\frac{60^\circ}{2} = -2 \sin{44^\circ}\sin{30^\circ}$
$\sin{74^\circ} + \sin{14^\circ} = 2 \sin\frac{74^\circ+14^\circ}{2}\cos\frac{74^\circ-14^\circ}{2} = 2 \sin\frac{88^\circ}{2}\cos\frac{60^\circ}{2} = 2 \sin{44^\circ}\cos{30^\circ}$
Подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим:
$\frac{-2 \sin{44^\circ}\sin{30^\circ}}{2 \sin{44^\circ}\cos{30^\circ}} = -\frac{\sin{30^\circ}}{\cos{30^\circ}} = -\tan{30^\circ}$
Зная, что $\tan{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:
$-\tan{30^\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$