Номер 27.8, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.8. Докажите тождество:

1) $ \sin \alpha + \sin 3\alpha - \sin 2\alpha = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \cos \frac{3\alpha}{2}; $

2) $ \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha - \beta); $

3) $ \frac{\cos \alpha - \cos 2\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha}{\sin \alpha - \sin 2\alpha - \sin 4\alpha + \sin 5\alpha} = \operatorname{ctg} 3\alpha; $

4) $ (\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}; $

5) $ \left( \frac{\sin 4\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\cos \alpha} \right) \left( \frac{1}{\sin 3\alpha} + \frac{1}{\sin \alpha} \right) = 4 \operatorname{ctg} \alpha. $

1) Докажите тождество: $ \sin \alpha + \sin 3\alpha - \sin 2\alpha = 4 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\alpha \cos\frac{3\alpha}{2} $

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем первое и второе слагаемые и применим формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $. Затем используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $.

$ \sin \alpha + \sin 3\alpha - \sin 2\alpha = (\sin 3\alpha + \sin \alpha) - \sin 2\alpha = 2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} - \sin 2\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha $

Вынесем общий множитель $ \sin 2\alpha $ за скобки:

$ \sin 2\alpha (2 \cos \alpha - 1) $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $ и формулу косинуса двойного угла в виде $ \cos \alpha = 1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $, из которой следует $ 2\cos\alpha - 1 = 2(1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2}) - 1 = 1 - 4\sin^2\frac{\alpha}{2} $. Этот путь усложняет.

Попробуем другой способ группировки. Сгруппируем второе и третье слагаемые и применим формулу разности синусов $ \sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $.

$ \sin \alpha + (\sin 3\alpha - \sin 2\alpha) = \sin \alpha + 2 \cos\frac{3\alpha+2\alpha}{2} \sin\frac{3\alpha-2\alpha}{2} = \sin \alpha + 2 \cos\frac{5\alpha}{2} \sin\frac{\alpha}{2} $

Используем формулу синуса двойного угла для $ \sin\alpha = 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} $:

$ 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} + 2 \cos\frac{5\alpha}{2} \sin\frac{\alpha}{2} $

Вынесем общий множитель $ 2 \sin\frac{\alpha}{2} $ за скобки:

$ 2 \sin\frac{\alpha}{2} (\cos\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{5\alpha}{2}) $

Применим к выражению в скобках формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $:

$ 2 \sin\frac{\alpha}{2} \left( 2 \cos\frac{\frac{\alpha}{2}+\frac{5\alpha}{2}}{2} \cos\frac{\frac{5\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2} \right) = 2 \sin\frac{\alpha}{2} \left( 2 \cos\frac{3\alpha}{2} \cos\alpha \right) = 4 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\alpha \cos\frac{3\alpha}{2} $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ \sin \alpha + \sin 3\alpha - \sin 2\alpha = 4 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\alpha \cos\frac{3\alpha}{2} $.

2) Докажите тождество: $ \sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) $

Преобразуем правую часть тождества, используя формулы синуса суммы и синуса разности:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

Перемножим эти выражения:

$ \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) $

Воспользуемся формулой разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:

$ (\sin\alpha\cos\beta)^2 - (\cos\alpha\sin\beta)^2 = \sin^2\alpha\cos^2\beta - \cos^2\alpha\sin^2\beta $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $, заменим косинусы на синусы:

$ \sin^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha)\sin^2\beta $

Раскроем скобки:

$ \sin^2\alpha - \sin^2\alpha\sin^2\beta - \sin^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta $

Сократим подобные слагаемые:

$ \sin^2\alpha - \sin^2\beta $

Правая часть равна левой, тождество доказано.

Ответ: $ \sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) $.

3) Докажите тождество: $ \frac{\cos\alpha - \cos 2\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha}{\sin\alpha - \sin 2\alpha - \sin 4\alpha + \sin 5\alpha} = \operatorname{ctg} 3\alpha $

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

$ \frac{(\cos 5\alpha + \cos\alpha) - (\cos 4\alpha + \cos 2\alpha)}{(\sin 5\alpha + \sin\alpha) - (\sin 4\alpha + \sin 2\alpha)} $

Применим формулы суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $ и суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $.

Для числителя:

$ \cos 5\alpha + \cos\alpha = 2 \cos\frac{6\alpha}{2} \cos\frac{4\alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha $

$ \cos 4\alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos\frac{6\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos\alpha $

Числитель примет вид: $ 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha - 2 \cos 3\alpha \cos\alpha = 2 \cos 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos\alpha) $.

Для знаменателя:

$ \sin 5\alpha + \sin\alpha = 2 \sin\frac{6\alpha}{2} \cos\frac{4\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha $

$ \sin 4\alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin\frac{6\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos\alpha $

Знаменатель примет вид: $ 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha - 2 \sin 3\alpha \cos\alpha = 2 \sin 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos\alpha) $.

Теперь подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{2 \cos 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos\alpha)}{2 \sin 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos\alpha)} $

Сократим дробь на общий множитель $ 2(\cos 2\alpha - \cos\alpha) $, при условии, что он не равен нулю:

$ \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} = \operatorname{ctg} 3\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\cos\alpha - \cos 2\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha}{\sin\alpha - \sin 2\alpha - \sin 4\alpha + \sin 5\alpha} = \operatorname{ctg} 3\alpha $.

4) Докажите тождество: $ (\sin\alpha + \sin\beta)^2 + (\cos\alpha + \cos\beta)^2 = 4\cos^2\frac{\alpha - \beta}{2} $

Преобразуем левую часть тождества. Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов к выражениям в скобках:

$ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

Подставим эти выражения в левую часть и возведем в квадрат:

$ \left( 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} \right)^2 + \left( 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} \right)^2 $

$ = 4 \sin^2\frac{\alpha+\beta}{2} \cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} + 4 \cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} \cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} $

Вынесем общий множитель $ 4\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} $ за скобки:

$ 4\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} \left( \sin^2\frac{\alpha+\beta}{2} + \cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} \right) $

Выражение в скобках равно 1 согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

$ 4\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} \cdot 1 = 4\cos^2\frac{\alpha - \beta}{2} $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ (\sin\alpha + \sin\beta)^2 + (\cos\alpha + \cos\beta)^2 = 4\cos^2\frac{\alpha - \beta}{2} $.

5) Докажите тождество: $ \left(\frac{\sin 4\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\cos\alpha}\right)\left(\frac{1}{\sin 3\alpha} + \frac{1}{\sin\alpha}\right) = 4\operatorname{ctg}\alpha $

Преобразуем поочередно выражения в каждой из скобок.

Первая скобка:

$ \frac{\sin 4\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin 4\alpha \cos\alpha - \cos 4\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $

В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:

$ \frac{\sin(4\alpha - \alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $, откуда $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2} $:

$ \frac{\sin 3\alpha}{\frac{\sin 2\alpha}{2}} = \frac{2\sin 3\alpha}{\sin 2\alpha} $

Вторая скобка:

$ \frac{1}{\sin 3\alpha} + \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha + \sin 3\alpha}{\sin 3\alpha \sin\alpha} $

В числителе используем формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $:

$ \frac{2 \sin\frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2}}{\sin 3\alpha \sin\alpha} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos\alpha}{\sin 3\alpha \sin\alpha} $

Теперь перемножим преобразованные выражения:

$ \left( \frac{2\sin 3\alpha}{\sin 2\alpha} \right) \cdot \left( \frac{2 \sin 2\alpha \cos\alpha}{\sin 3\alpha \sin\alpha} \right) $

Сократим общие множители $ \sin 3\alpha $ и $ \sin 2\alpha $:

$ \frac{2 \cdot 2 \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{4\cos\alpha}{\sin\alpha} = 4\operatorname{ctg}\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $ \left(\frac{\sin 4\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\cos\alpha}\right)\left(\frac{1}{\sin 3\alpha} + \frac{1}{\sin\alpha}\right) = 4\operatorname{ctg}\alpha $.